大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2020年度 数理科学 I [6]
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Kai
(1)
まず、
\[
\begin{aligned}
\Gamma(1)
= \int_0^\infty e^{-x} dx
= - \left[ e^{-x} \right]_0^\infty
= 1
\end{aligned}
\]
であるから、 \(n \Gamma(n) = \Gamma(n+1)\) と合わせて、
\[
\begin{aligned}
\Gamma(n) = (n-1)!
\end{aligned}
\]
がわかる。
そこで、次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
P(X=x)
&=
\int_0^\infty P(X=x | Y=y) f(y) dy
\\
&=
\int_0^\infty \frac{y^x}{x!} e^{-y}
\frac{1}{(n-1)!} \beta^n y^{n-1} e^{- \beta y} dy
\\
&=
\frac{\beta^n}{x! (n-1)!}
\int_0^\infty y^{x+n-1} e^{- (\beta + 1) y} dy
\\
&=
\frac{1}{x! (n-1)!} \left( \frac{1-p}{p} \right)^n
\int_0^\infty y^{x+n-1} e^{- y/p} dy
\\
&=
\frac{1}{x! (n-1)!} \left( \frac{1-p}{p} \right)^n p^{x+n}
\int_0^\infty z^{x+n-1} e^{- z} dz
\ \ \ \ \ \ \ \ (z = y/p)
\\
&=
\frac{(x+n-1)!}{x! (n-1)!} p^x (1-p)^n
\\
&=
\begin{pmatrix} x+n-1 \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p)^n
.
\end{aligned}
\]
(2)
\(X\) の期待値 \(E(X)\) は次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
E(X)
&=
\sum_{x=0}^\infty x P(X=x)
\\
&=
\sum_{x=0}^\infty x
\frac{(x+n-1)!}{x! (n-1)!} p^x (1-p)^n
\\
&=
\sum_{x=1}^\infty
\frac{(x+n-1)!}{(x-1)! (n-1)!} p^x (1-p)^n
\\
&=
\sum_{z=0}^\infty
\frac{(z+n)!}{z! (n-1)!} p^{z+1} (1-p)^n
\ \ \ \ \ \ \ \ (z=x-1)
\\
&=
\frac{np}{1-p} \sum_{z=0}^\infty
\frac{(z+n)!}{z! \ n!} p^z (1-p)^{n+1}
\\
&=
\frac{np}{1-p}
.
\end{aligned}
\]
(3)
求める条件付き期待値 \(E(Y|X=x)\) は次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
E(Y|X=x)
&=
\int_0^\infty y \frac{P(X=x | Y=y) f(y)}{P(X=x)} dy
\\
&=
\int_0^\infty y
\frac{\frac{y^x}{x!} e^{-y} \frac{1}{(n-1)!}
\beta^n y^{n-1} e^{- \beta y}}
{\frac{(x+n-1)!}{x!(n-1)!} p^x (1-p)^n}
dy
\\
&=
\frac{\beta^n}{(x+n-1)! \ p^x (1-p)^n}
\int_0^\infty y^{x+n} e^{-y/p} dy
\\
&=
\frac{\beta^n p^{x+n+1}}{(x+n-1)! \ p^x (1-p)^n}
\int_0^\infty z^{x+n} e^{-z} dz
\ \ \ \ \ \ \ \ (z=y/p)
\\
&=
\frac{p^{x+n+1}}{(x+n-1)! \ p^x (1-p)^n}
\left( \frac{1-p}{p} \right)^n
(x+n)!
\\
&=
(x+n) p
.
\end{aligned}
\]