大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2019年度 数理科学 I [5]
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Description
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
E [ T(\alpha) ]
&= \sum_{i=1}^n \alpha_i E[X_i]
\\
&= \mu \sum_{i=1}^n \alpha_i
\\
\text{Cov} [ T(\alpha), T(\beta) ]
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \text{Cov} [X_i, X_j]
\\
&= \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i V [X_i]
+ \sum_{i \neq j} \alpha_i \beta_j \text{Cov} [X_i, X_j]
\\
&= \sigma^2 \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i
+ \theta \sum_{i \neq j} \alpha_i \beta_j
\\
&= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i
+ \theta \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j
\\
&= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i
+ \theta \sum_{i=1}^n \alpha_i \sum_{j=1}^n \beta_j
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
V[T(\alpha)]
&= \text{Cov} [ T(\alpha), T(\alpha) ]
\\
&= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i^2
+ \theta \sum_{i=1}^n \alpha_i \sum_{j=1}^n \alpha_j
\\
&= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i^2
+ \theta \left\{ \sum_{i=1}^n \alpha_i \right\}^2
\end{aligned}
\]
(3)
\(T(\alpha)\) が \(\mu\) の不偏推定量であるための条件は、(1) より、
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \alpha_i = 1
\end{aligned}
\]
であり、このとき、
\[
\begin{aligned}
V[T(\alpha)]
= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i^2
+ \theta
\end{aligned}
\]
となる。
これを最小化するために、 ラグランジュの未定乗数 \(\lambda\) を導入して、
\[
\begin{aligned}
f(\alpha)
= \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 - \lambda \sum_{i=1}^n \alpha_i
\end{aligned}
\]
を考えると、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial \alpha_i}
= 2 \alpha_i - \lambda
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = \frac{1}{n}
, \ \
\lambda = \frac{2}{n}
\end{aligned}
\]
のとき、 \(f(\alpha)\) したがって \(V[T(\alpha)]\) が最小になる。
このとき、
\[
\begin{aligned}
V[T(\alpha)]
&= \left( \sigma^2 - \theta \right) \cdot \frac{1}{n} + \theta
\\
&= \frac{\sigma^2 + (n-1) \theta}{n}
\end{aligned}
\]
である。