大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2019年度 数理科学 I [2]
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Kai
(1)
\(V\) の定義における \(x_1, x_2, x_3, x_4\) に関する与えられた3つの式を整理すると、
\[
\begin{aligned}
x_1 &= - x_3 + 2 x_4
\\
x_2 &= - x_3 - 2 x_4
\end{aligned}
\]
となるので、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- x_3 + 2 x_4 \\ - x_3 - 2 x_4 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix}
=
x_3
\begin{pmatrix}
-1 \\ -1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ x_4
\begin{pmatrix}
2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
となる。
したがって、\(V\) は2次元で、
\[
\begin{aligned}
v_1 =
\begin{pmatrix}
-1 \\ -1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
, \ \
v_2 =
\begin{pmatrix}
2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
はその基底である。
(2)
(1) と同様に考えると、 \(W\) も2次元で、
\[
\begin{aligned}
w_1 =
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ -5 \\ -2
\end{pmatrix}
, \ \
w_2 =
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ -2 \\ -1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
はその基底である。
そこで、 \(v_1, v_2, w_1, w_2\) について考えると、
\[
\begin{aligned}
w_1 = v_1 + v_2 + 3 w_2
\end{aligned}
\]
が成り立ち、また、 \(w_2\) は \(v_1, v_2\) の線形結合で表すことができない。 したがって、 \(U\) は3次元であり、 \(v_1, v_2, w_2\) はその基底である。