大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2019年度 数理科学 II [7]
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Kai
(1)
まず、確率を \(P\) で表すと、
\[
\begin{aligned}
P(a \leq X \leq b)
&= \int_a^b f(x|\lambda) dx
\\
&= \lambda \int_a^b \exp ( -\lambda x) dx
\\
&= \exp(-\lambda a) - \exp(-\lambda b)
\\
P(a \leq Y \leq b)
&= \exp \left( - \frac{a}{\lambda} \right)
- \exp \left( -\frac{b}{\lambda} \right)
\end{aligned}
\]
である。
そこで、 \(Z\) の確率分布関数を \(G(z)\) とすると、
\[
\begin{aligned}
G(z)
&= P(Z \leq z)
\\
&= P(X \leq z \text{ and } Y \leq z)
+ P(X \leq z \leq Y) + P(Y \leq z \leq X)
\\
&= P(X \leq z) P(Y \leq z)
+ P(X \leq z) P(z \leq Y) + P(Y \leq z) P(z \leq X)
\\
&=
\left( 1 - \exp (- \lambda z) \right)
\left( 1 - \exp \left(- \frac{z}{\lambda} \right) \right)
+
\left( 1 - \exp (- \lambda z) \right)
\exp \left(- \frac{z}{\lambda} \right)
+
\left( 1 - \exp \left(- \frac{z}{\lambda} \right) \right)
\exp (- \lambda z)
\end{aligned}
\]
となるから、 \(Z\) の確率密度関数 \(g(z)\) は、
\[
\begin{aligned}
g(z)
&=
\frac{d G(z)}{dz}
\\
&= \left( \lambda + \lambda^{-1} \right)
\exp \left( - \left( \lambda + \lambda^{-1} \right) z \right)
\\
&= \mu \exp \left( - \mu z \right)
\end{aligned}
\]
となる。ここで、 \(\mu = \lambda + \lambda^{-1}\) とした。
よって、平均を \(E\), 分散を \(V\) で表すと、
\[
\begin{aligned}
E[Z]
&= \int_0^\infty z g(z) dz
\\
&= \mu \int_0^\infty z \exp \left( - \mu z \right) dz
\\
&= \frac{1}{\mu}
= \frac{1}{\lambda + \lambda^{-1}}
\\
E[Z^2]
&= \int_0^\infty z^2 g(z) dz
\\
&= \mu \int_0^\infty z^2 \exp \left( - \mu z \right) dz
\\
&= \frac{2}{\mu^2}
= \frac{2}{\left( \lambda + \lambda^{-1} \right)^2}
\\
V[Z]
&= E[Z^2] - E[Z]^2
\\
&= \frac{1}{\mu^2}
= \frac{1}{\left( \lambda + \lambda^{-1} \right)^2}
\end{aligned}
\]
を得る。
(2)
\(Z\) の観測値を \(z_1, z_2, \cdots, z_n\) とし、 その平均を
\[
\begin{aligned}
\bar{z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n z_i
\end{aligned}
\]
とする。
対数尤度関数 \(l\) は、
\[
\begin{aligned}
l
&=
\sum_{i=1}^n \log g(z_i)
\\
&=
\sum_{i=1}^n
\log \left( \mu \exp \left( - \mu z_i \right) \right)
\\
&=
n \log \mu - \mu \sum_{i=1}^n z_i
\\
&=
n \log \mu - \mu n \bar{z}
\\
\therefore \ \
\frac{dl}{d \mu}
&=
\frac{n}{\mu} - n \bar{z}
\end{aligned}
\]
であるから、 \(\mu\) の最尤推定量 \(\hat{\mu}\) は、
\[
\begin{aligned}
\hat{\mu} = \frac{1}{\bar{z}}
\end{aligned}
\]
であることがわかる。
(3)
\[
\begin{aligned}
\frac{d \mu}{d \lambda}
&= 1 - \frac{1}{\lambda^2}
\end{aligned}
\]
であるから、 \(\lambda \gt 1\) において、 \(\mu\) は \(\lambda\) の単調増加関数である。 よって、 \(\lambda\) の最尤推定量 \(\hat{\lambda}\) は、
\[
\begin{aligned}
\hat{\lambda} + \frac{1}{\hat{\lambda}} = \hat{\mu}
\end{aligned}
\]
を満たし、
\[
\begin{aligned}
\hat{\lambda}
&= \frac{1}{2} \left( \hat{\mu} + \sqrt{\hat{\mu}^2 - 4} \right)
\\
&= \frac{1}{2} \left(
\frac{1}{\bar{z}} + \sqrt{\frac{1}{\bar{z}^2} - 4} \right)
\end{aligned}
\]
を得る。
ただし、これは \(\bar{z} \leq 1/2\) のときであり、 \(\bar{z} \gt 1/2\) のときは、
\[
\begin{aligned}
\hat{\lambda} = 1
\end{aligned}
\]
である。