大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2022年度 電子光科学 [I-2]
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Kai
(1)
\(z\) が線分OB上にあるとすると、
\[
\begin{aligned}
z &= t e^{i \pi / 4}
\\
z^2 &= t^2 e^{i \pi / 2} = i t^2
\\
f(z) &= e^{- i t^2}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
求める積分を \(I\) とすると、
\[
\begin{aligned}
I^2
&= \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-y^2} dy
\\
&= \int_0^{\pi/2} d \theta \int_0^\infty dr r e^{-r^2}
\ \ \ \ \text{(2次元極座標)}
\\
&= \frac{\pi}{2} \left[ - \frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^\infty
\\
&= \frac{\pi}{4}
\\
\therefore \ \
I &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
まず、
\[
\begin{aligned}
C &= \int_0^\infty \cos (x^2) dx
\\
S &= \int_0^\infty \sin (x^2) dx
\end{aligned}
\]
とおくと、(1) より、
\[
\begin{aligned}
\int_{\mathrm{BO}} f(z) dz
&= \int_r^0 e^{- it^2} \frac{1+i}{\sqrt{2}} dt
\\
&= - \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^r \left(
\left( \cos (t^2) + \sin (t^2) \right)
+ i \left( \cos (t^2) - \sin (t^2) \right) \right) dt
\\
&\xrightarrow{r \to \infty}
- \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (C+S) + i (C-S) \right)
\end{aligned}
\]
となる。
\(f(z)\) は正則関数であるから、
\[
\begin{aligned}
\int_{\mathrm{OA}} f(z) dz
+ \int_{\mathrm{AB}} f(z) dz
+ \int_{\mathrm{BO}} f(z) dz
= 0
\end{aligned}
\]
が成り立つが、 \(r \to \infty\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{\pi}}{2}
+ 0
- \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (C+S) + i (C-S) \right)
= 0
\end{aligned}
\]
となり、
\[
\begin{aligned}
C = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
を得る。