大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2022年度 電子光科学 [I-1]
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Kai
(1)
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
a - \lambda & 0 & b \\ 0 & a - \lambda & 0 \\ b & 0 & a - \lambda
\end{pmatrix}
\\
&= (a - \lambda)^3 - b^2(a - \lambda)
\\
&= - (\lambda - a)(\lambda - a - b)(\lambda - a + b)
\\
\therefore \ \
\lambda &= a-b, a, a+b
\end{aligned}
\]
\(b \ne 0\) なので、この3つは異なり、3つの固有値 \(a-b,a,a+b\) を持つことがわかる。
固有値 \(a-b\) に属する固有ベクトルを求めるために、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
a - (a-b) & 0 & b \\ 0 & a - (a-b) & 0 \\ b & 0 & a - (a-b)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(b \ne 0\) を考慮して、 \(x+z=0, y=0\) を得るので、固有ベクトル
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を得る。
同様にして、固有値 \(a, a+b\) のそれぞれに属する固有ベクトル
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を得る。
(2)
(1)で求めた固有ベクトルを使って、
\[
\begin{aligned}
P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とすれば、これは直交行列で、
\[
\begin{aligned}
P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} a-b & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a+b \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
となる。