大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2021年度 電子光科学 [I-2]
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
u(x) = x^2
, \ \
v(x) = x
, \ \
w(x) = 1
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
T(u(x))
&= T(x^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
\\
&= u(x) + 2v(x) + w(x)
\\
T(v(x))
&= T(x) = x+1
\\
&= v(x) + w(x)
\\
T(w(x))
&= T(1) = 1
\\
&= w(x)
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} T(u(x)) & T(v(x)) & T(w(x)) \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} u(x) & v(x) & w(x) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であり、求める表現行列は、
\[
\begin{aligned}
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\(A\) の固有値は \(1\) であり、対応する固有ベクトルは、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。