大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年度 電子光科学 [I-2]
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
A x
&=
\begin{pmatrix}
x_1 + x_2 + 3x_3 \\
x_2 + 2x_3 \\
x_1 + 2x_2 + 5x_3
\end{pmatrix}
=
(x_1+x_3)
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
+
(x_2+2x_3)
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、2次元であり、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
は基底である。
(2)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
x_1 + x_2 + 3x_3 \\
x_2 + 2x_3 \\
x_1 + 2x_2 + 5x_3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
より、
\[
\begin{aligned}
x_1 + x_3 = 0
, \ \
x_2 + 2 x_3 = 0
\end{aligned}
\]
であるから、求めるベクトルの集合は、 \(t\) を任意の実数として、
\[
\begin{aligned}
t
\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
の形のベクトルたちである。
(3)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
x_1 + x_2 + 3x_3 \\
x_2 + 2x_3 \\
x_1 + 2x_2 + 5x_3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
より、
\[
\begin{aligned}
x_1 + x_3 = 2
, \ \
x_2 + 2 x_3 = 3
\end{aligned}
\]
であるから、求めるベクトルの集合は、 \(t\) を任意の実数として、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -t+2 \\ -2t+3 \\ t \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
の形のベクトルたちである。