大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年度 電子光科学 [I-1]
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Kai
\(f\) は正則関数であるから、コーシー-リーマンの方程式が成り立つ：
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial y}
&=
\frac{\partial u}{\partial x}
=
3x^2+ay^2
\\
\therefore \ \
v
&=
3x^2y + \frac{1}{3}ay^3 + w(x)
.
\end{aligned}
\]
ここで、 \(w(x)\) は \(y\) にはよらない \(x\) の関数である。 この \(u,v\) を、 コーシー-リーマンのもう1つの方程式
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial y}
= -\frac{\partial v}{\partial x}
\end{aligned}
\]
に代入して、次を得る：
\[
\begin{aligned}
2axy = -6xy - w'(x)
.
\end{aligned}
\]
よって、 \(a=-3, w(x)=C\) （定数）であることがわかる。 よって、次もわかる：
\[
\begin{aligned}
v = 3x^2y + \frac{1}{3}ay^3 + C
.
\end{aligned}
\]