大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2020年度 数学 (3)
Author
Description
Kai
(a)
(i)
\(\bar{X}\) の標準偏差は、
\[
\begin{aligned}
\frac{\sigma_x}{\sqrt{16}} = \frac{\sigma_x}{4}
\end{aligned}
\]
なので、 \(\sigma_x\) の0.5倍以上ずれるということは、 標準偏差の2倍以上ずれるということであり、 その確率は約0.02である。
(ii)
標本数を増やすと、 \(\bar{X}\) の標準偏差が減少するから。
(iii)
\(\bar{X}\) の期待値は \(X\) で分散は $\sigma_x^2 / M $ であり、 \(\bar{Y}\) の期待値は \(Y\) で分散は $\sigma_y^2 / N $ であり、 \(\bar{X}\) と \(\bar{Y}\) は独立である。 よって、 \(\bar{X} \bar{Y}\) の分散は、
\[
\begin{aligned}
V \left( \bar{X} \bar{Y} \right)
&=
E \left( \bar{X}^2 \bar{Y}^2 \right)
- E \left( \bar{X} \bar{Y} \right)^2
\\
&=
E \left( \bar{X}^2 \right) E \left( \bar{Y}^2 \right)
- E \left( \bar{X} \right)^2 E \left(\bar{Y} \right)^2
\\
&=
\left( \sigma_x^2 + X^2 \right) \left( \sigma_y^2 + Y^2 \right)
- X^2 Y^2
\\
&=
\sigma_x^2 \sigma_y^2 + \sigma_x^2 Y^2 + \sigma_y^2 X^2
\end{aligned}
\]
であり、標準偏差は、
\[
\begin{aligned}
\sqrt{\sigma_x^2 \sigma_y^2 + \sigma_x^2 Y^2 + \sigma_y^2 X^2}
\end{aligned}
\]
である。
(b)
(\(c\))
(i)
\[
\begin{aligned}
P ( A \mid H_k )
=
\frac{P(A \cap H_k)}{P(H_k)}
\end{aligned}
\]
(ii)
\[
\begin{aligned}
P(A)
&=
\sum_{k=1}^K P ( A \cap H_k )
\\
&=
\sum_{k=1}^K P ( A \mid H_k ) P(H_k)
\end{aligned}
\]
(iii)
\[
\begin{aligned}
P ( H_k \mid A )
&=
\frac{P(A \cap H_k)}{P(A)}
\\
&=
\frac{P ( A \mid H_k ) P(H_k)}
{\sum_{l=1}^K P ( A \mid H_l ) P(H_l)}
\end{aligned}
\]