大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2020年度 数学 (1)
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Kai
(a)
\(k=1,2,\cdots\) について、 \(k\) 階導関数は
\[
\begin{aligned}
f^{(k)}(x) &= e^x
\end{aligned}
\]
であり、 \(x=a\) における \(k\) 階微分係数は
\[
\begin{aligned}
f^{(k)}(a) &= e^a
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{e^a}{k!} (x-a)^k
\end{aligned}
\]
である。
(b)
\[
\begin{aligned}
f(x)
&= a^x
\\
&= e^{x \log a}
\\
\therefore \ \
f'(x)
&= e^{x \log a} \cdot \log a
\\
&= a^x \log a
\end{aligned}
\]
(\(c\))
(i)
\[
\begin{aligned}
\mathrm{grad} \ h(x,y)
= \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} \boldsymbol{i}
+ \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} \boldsymbol{j}
\end{aligned}
\]
(ii)
等高線 \(h(x,y)=c\) 上の点 \((X,Y)\) における接線の方程式は、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial h(X,Y)}{\partial x} (x-X)
+ \frac{\partial h(X,Y)}{\partial y} (y-Y)
= 0
\end{aligned}
\]
であるが、これは \(\mathrm{grad} \ h(X,Y)\) とベクトル \((x-X) \boldsymbol{i} + (y-Y) \boldsymbol{j}\) が直交していることを意味し、 つまり、 \(\mathrm{grad} \ h(X,Y)\) と等位線が \((X,Y)\) において直交していることを意味する。
(d)
(i)
特性方程式は、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 5 \lambda + 4 = 0
\end{aligned}
\]
であり、特性根は、
\[
\begin{aligned}
\lambda = 1, 4
\end{aligned}
\]
である。
(ii)
特殊解として、定数解
\[
\begin{aligned}
y = \frac{k}{4}
\end{aligned}
\]
があるのは明らかなので、 (i) を考慮し、任意定数を \(A, B\) として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^x + B e^{4x} + \frac{k}{4}
\end{aligned}
\]
が一般解である。
実際、これは、
\[
\begin{aligned}
y' &= A e^x + 4B e^{4x}
\\
y'' &= A e^x + 16B e^{4x}
\end{aligned}
\]
となり、
\[
\begin{aligned}
y'' - 5 y' + 4 y = k
\end{aligned}
\]
を満たす。