大阪大学 工学研究科 電気電子情報工学専攻 2020年度 基礎科目 【数学3】
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Kai
(a)
\[
\begin{aligned}
f(z)
= \frac{z e^{irz}}{z^2 + m^2}
= \frac{z e^{irz}}{(z+im)(z-im)}
\end{aligned}
\]
であるから、 \(z=im,-im\) が1位の極であり、それぞれにおける留数は、
\[
\begin{aligned}
\lim_{z \to im} (z-im) f(z) = \frac{1}{2} e^{-rm}
, \ \
\lim_{z \to -im} (z+im) f(z) = \frac{1}{2} e^{rm}
\end{aligned}
\]
である。
(b)
留数定理より、
\[
\begin{aligned}
\int_{C_1+C_2} f(z) dz
= 2 \pi i \cdot \frac{1}{2} e^{-rm}
= i \pi e^{-rm}
\end{aligned}
\]
である。
(\(c\))
\(C_2\) 上の \(z\) は \(z=Re^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \leq \pi)\) と書け、 \(dz = iRe^{i \theta} d \theta\) なので、
\[
\begin{aligned}
\int_{C_2} f(z) dz
&= \int_0^\pi \frac{R e^{i \theta} e^{irR \exp(i \theta)}}{R^2 e^{2i \theta} + m^2} \cdot iR e^{i \theta} d \theta
\\
&= i \int_0^\pi \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } d \theta
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
\left| \int_{C_2} f(z) dz \right|
&\leq \int_{C_2} \left| f(z) \right| \left| dz \right|
\\
&= \int_0^\pi \left| \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } \right| d \theta
\\
&\to 0 \ \ (R \to 0)
\end{aligned}
\]
である。
(d)
(b), (\(c\)) より、
\[
\begin{aligned}
\lim_{R \to \infty} \int_{C_1} f(z) dz = i \pi e^{-rm}
\end{aligned}
\]
であるが、 \(m=1\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\int_{- \infty}^\infty \frac{k e^{ik}}{k^2+1} dk = i \pi e^{-r}
\end{aligned}
\]
となり、これの両辺の虚部を考えると、
\[
\begin{aligned}
\int_{- \infty}^\infty \frac{k \sin k}{k^2+1} dk = \pi e^{-r}
\end{aligned}
\]
したがって、
\[
\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{2k \sin k}{k^2+1} dk = \pi e^{-r}
\end{aligned}
\]
を得る。