大阪大学 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 2021年度 数学4-5

Author

Miyake

Description

Kai

4.

(1)

\(A\) の列ベクトル

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{a}_1 = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix} , \boldsymbol{a}_2 = \begin{pmatrix} 3a-3b+14 \\ a-b+4 \end{pmatrix} , \boldsymbol{a}_3 = \begin{pmatrix} 15 \\ 6 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

を見ると、 \(\boldsymbol{a}_3 = -3 \boldsymbol{a}_1\) であるが、 \(a,b\) が何であっても \(\boldsymbol{a}_2\) は \(\boldsymbol{a}_1\) の実数倍で表せない。 したがって、 \(A\) の像は2次元であり、核 \(V\) は1次元である。

核 \(V\) を求めるために、次のようにおく：

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -5 & 3a-3b+14 & 15 \\ -2 & a-b+4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

これが成り立つのは \(-x+3z=0,y=0\) のときであり、 したがって、 \(V\) の基底はたとえば、

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

である。

(2)

\(B\) の列ベクトルを次のように書く：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \boldsymbol{b}_2 = \begin{pmatrix} -3a-b \\ 3a+b \\ 3a+b \end{pmatrix} = (3a+b) \boldsymbol{b}'_2 \end{aligned} \]

ここで、

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{b}'_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

であり、 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}'_2\) は1次独立である。

\(3a+b=0\) のときは、 \(W\) は1次元であり、 \(\boldsymbol{b}_1\) が基底になる。

\(3a+b \neq 0\) のときは、 \(W\) は2次元であり、 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}'_2\) が基底になる。

(3)

\(\boldsymbol{v}\) は (1) の通りとし、 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}'_2\) は (2) の通りとする。

\(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{b}_1\) は1次独立なので、 \(3a+b=0\) のときは、 \(V+W\) は \(V\) と \(W\) の直和になる。

\(\boldsymbol{v} = \boldsymbol{b}_1 - 2 \boldsymbol{b}'_2\) なので、 \(3a+b \neq 0\) のときは、 \(V+W\) は \(V\) と \(W\) の直和にならない。

したがって、求める条件は \(3a+b=0\) である。

5.

\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、

\[ \begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -1 - \lambda & 1 & 0 \\ 4 & -1 - \lambda & 0 \\ -3 & 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda + 3)(\lambda - 1)^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= -3, 1 \end{aligned} \]

を得る。

固有値 \(-3\) に対応する固有ベクトルを求めるため、

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -1+3 & 1 & 0 \\ 4 & -1+3 & 0 \\ -3 & 2 & 1+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

とおくと、 \(2x+y=0, -3x+2y+4z=0\) なので、

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 7 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

は固有値 \(-3\) に属する固有ベクトルである。

固有値 \(1\) に対応する固有ベクトルを求めるため、

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -1-1 & 1 & 0 \\ 4 & -1-1 & 0 \\ -3 & 2 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

とおくと、 \(-2x+y=0, -3x+2y=0\) したがって \(x=y=0\) なので、

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

は固有値 \(1\) に属する固有ベクトルである。

固有値 \(1\) に属する \(\boldsymbol{v}_2\) と1次独立な固有ベクトルは存在しない。 固有値 \(1\) に属する広義固有空間（一般固有空間）の \(\boldsymbol{v}_2\) と1次独立なベクトルを求めるため、

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -1-1 & 1 & 0 \\ 4 & -1-1 & 0 \\ -3 & 2 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

とおくと、 \(-2x+y=0, -3x+2y=1\) したがって \(x=1, y=2\) なので、

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

は固有値 \(1\) に属する広義固有空間（一般固有空間）の \(\boldsymbol{v}_2\) と1次独立なベクトルであり、

\[ \begin{aligned} A \boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{v}_3 \end{aligned} \]

を満たす。

以上より、 \(\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3\) は \(\mathbb{R}^3\) の基底であり、

\[ \begin{aligned} A \boldsymbol{v}_1 = -3 \boldsymbol{v}_1 , \ \ A \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_2 , \ \ A \boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{v}_3 \end{aligned} \]

を満たす。 したがって、任意の \(\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3\) に対して

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v} = a \boldsymbol{v}_1 + b \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 \end{aligned} \]

であるような \(a,b,c \in \mathbb{R}\) が一意的に存在し、

\[ \begin{aligned} A \boldsymbol{v} &= -3a \boldsymbol{v}_1 + (b+c) \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ,\\ A^2 \boldsymbol{v} &= 9a \boldsymbol{v}_1 + (b+2c) \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 \end{aligned} \]

が成り立つ。 \(a \ne 0\) かつ \(b \ne 0\) かつ \(c \ne 0\) のときは、 \(\boldsymbol{v}, A \boldsymbol{v}, A^2 \boldsymbol{v}\) は1次独立なので、 このような \(\boldsymbol{v}\) は求める2次元部分空間に含まれない。 さらに、

\[ \begin{aligned} A (a \boldsymbol{v}_1 + b \boldsymbol{v}_2 ) &= -3a \boldsymbol{v}_1 + b \boldsymbol{v}_2 ,\\ A (a \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ) &= -3a \boldsymbol{v}_1 + c \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ,\\ A (b \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ) &= (b+c) \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 \end{aligned} \]

であるから、求める2次元部分空間は、 「 \(\boldsymbol{v}_1\) と \(\boldsymbol{v}_2\) によって張られる部分空間」 と 「 \(\boldsymbol{v}_2\) と \(\boldsymbol{v}_3\) によって張られる部分空間」 の2つであることがわかる。