大阪大学 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 2021年度 数学1-3
Author
Description
Kai
1.
\[
\begin{aligned}
\int_0^{2 \pi} \frac{\cos \theta}{2 + \cos \theta} d \theta
&= 2 \int_0^\pi \frac{\cos \theta}{2 + \cos \theta} d \theta
\\
&= 2 \int_0^\infty \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}}
\frac{2 dt}{1 + t^2}
\ \ \ \ \ \ \ \ \left( t = \tan \frac{\theta}{2} \right)
\\
&= -4 \int_0^\infty \frac{t^2 - 1}{(t^2 + 3)(t^2 + 1)} dt
\\
&= -4 \int_0^\infty \left( \frac{2}{t^2 + 3} - \frac{1}{t^2 + 1} \right) dt
\\
&= -4 \left( \frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{2} \right)
\\
&= - \frac{4 \pi}{\sqrt{3}} + 2 \pi
\end{aligned}
\]
2.
まず、与えられた微分方程式に \(y = A \sin x + B \cos x\) （ \(A,B\) は \(x\) によらない定数）を代入すると、
\[
\begin{aligned}
(2A+4B) \sin x + (-4A+2B) \cos x = \cos x
\end{aligned}
\]
となって、 \(A=-1/5, B=1/10\) を得るので、
\[
\begin{aligned}
y = - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x
\end{aligned}
\]
は特殊解である。
次に、
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0
\end{aligned}
\]
に \(y = e^{\lambda x}\) （ \(\lambda\) は \(x\) によらない定数）を代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 4 \lambda + 3 &= 0
\\
(\lambda-1)(\lambda-3) &= 0
\\
\therefore \ \
\lambda &= 1, 3
\end{aligned}
\]
を得るので、
\[
\begin{aligned}
y = C e^x + D e^{3x}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
はこの微分方程式の一般解である。
以上より、
\[
\begin{aligned}
y = C e^x + D e^{3x} - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
は与えられた微分方程式の一般解である。