大阪大学 情報科学研究科 情報数理学専攻 2020年度 情報数理学 数理基礎
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Kai
1.
2.
(1)
\[
\begin{aligned}
\iint_{x \gt 0, y \gt 0} e^{-2(x+2y)} dx dy
&=
\int_0^\infty e^{-2x} dx
\int_0^\infty e^{-4y} dy
\\
&=
\left[ - \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^\infty
\left[ - \frac{1}{4} e^{-4y} \right]_0^\infty
\\
&=
\frac{1}{8}
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
c = 8
\end{aligned}
\]
(2)
\(X,Y\) のそれぞれの周辺確率密度関数を \(f_X(x), f_Y(y)\) とすると、
\[
\begin{aligned}
f_X(x)
&= \int_0^\infty e^{-2(x+2y)} dy
= 2 e^{-2x}
\ \ \ \ (x \gt 0)
\\
f_Y(y)
&= \int_0^\infty e^{-2(x+2y)} dx
= 4 e^{-4y}
\ \ \ \ (y \gt 0)
\end{aligned}
\]
なので、任意の \(x,y\) について
\[
\begin{aligned}
f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
\end{aligned}
\]
が成り立つから、 \(X\) と \(Y\) は独立である。
(3)
確率を \(P\) で表すと、 求める確率は次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
P \left( X \geq \frac{1}{2} \text{ or } Y \geq \frac{1}{2} \right)
&=
1 -
P \left( X \lt \frac{1}{2} \text{ and } Y \lt \frac{1}{2} \right)
\\
&=
1 -
\int_0^{1/2} f_X(x) dx
\int_0^{1/2} f_Y(y) dy
\\
&=
1 - (1-e^{-1})(1-e^{-2})
\\
&=
e^{-1} + e^{-2} - e^{-3}
\\
&\approx
0.4534244
\end{aligned}
\]
よって、 45.3% である。
3.
(1)
\(y_1, y_2, \cdots, y_N\) は独立で、 \(y_k\) は期待値 \(ax_k^2+bx_k+c\) 分散 \(\sigma^2\) の正規分布 であるから、求める尤度 \(L\) は、
\[
\begin{aligned}
L
&=
\prod_{k=1}^N \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
\exp \left[ - \frac{(y_k - (ax_k^2+bx_k+c))^2}{2 \sigma^2} \right]
\\
&=
\left( 2 \pi \sigma^2 \right)^{-N/2}
\exp \left[ - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{k=1}^N
\left( y_k - (ax_k^2+bx_k+c) \right)^2 \right]
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\[
\begin{aligned}
L
&=
\left( 2 \pi \sigma^2 \right)^{-N/2}
\exp \left[ - \frac{J}{2 \sigma^2} \right]
\end{aligned}
\]
であるから、 \(J\) を最小とする \(a,b,c\) は、 \(L\) を最大にするので、最尤推定量である。