大阪大学 情報科学研究科 情報数理学専攻 2020年度 情報数理学 数学解析
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Kai
1.
まず、 \(x_0(t) = e^{-t}\) は、すぐにわかる。 \(x_1(t)\) については、
\[
\begin{aligned}
\frac{dx_1(t)}{dt}
&= - x_1(t) + x_0(t) \\
&= - x_1(t) + e^{-t}
\end{aligned}
\]
なので、適当な関数 \(A(t)\) を使って \(x_1(t) = A(t) e^{-t}\) と書いて、 上の微分方程式に代入すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{dA(t)}{dt} = 1
\end{aligned}
\]
となるので、積分定数を \(C\) として、
\[
\begin{aligned}
A(t) &= t + C
\\
\therefore \ \ x_1(t) &= (t + C) e^{-t}
\end{aligned}
\]
であるが、初期条件 \(x_1(0)=0\) を満たすようにするには、 \(C=0\) とすればよく、
\[
\begin{aligned}
x_1(t) = t e^{-t}
\end{aligned}
\]
を得る。 同様にして、
\[
\begin{aligned}
x_2(t) = \frac{1}{2} t^2 e^{-t}
\end{aligned}
\]
を得る。
以上より、 \(k=0,1,2,\cdots\) について、
\[
\begin{aligned}
x_k(t) = \frac{1}{k!} t^k e^{-t}
\end{aligned}
\]
と予想できるが、これは確かに初期条件を満たし、 \(k=1,2,\cdots\) について、
\[
\begin{aligned}
\frac{dx_k(t)}{dt}
&= \frac{1}{(k-1)!} t^{k-1} e^{-t} - \frac{1}{k!} t^k e^{-t}
\\
&= x_{k-1}(t) - x_k(t)
\end{aligned}
\]
であるから微分方程式も満たす。