名古屋大学 多元数理科学研究科 2019年度 午前の部 [2]
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Kai
(1)
\(T\) の固有値を \(t\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
-t & 1 & 0 \\ 0 & -t & 1 \\ 1 & 0 & -t \end{pmatrix}
\\
&= - t^3 + 1
\\
&= -(t-1)(t^2+t+1)
\\
\therefore \ \
t &= 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}
\\
&= 1, \omega, \omega^2
\ \ \ \ \ \ \ \ \left( \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} \right)
\end{aligned}
\]
である。 固有値 \(t=1\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=y=z\) を得る。 固有値 \(t=\omega\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-\omega & 1 & 0 \\ 0 & -\omega & 1 \\ 1 & 0 & -\omega
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y = \omega x, z = \omega^2 x\) を得る。 固有値 \(t=\omega^2\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-\omega^2 & 1 & 0 \\ 0 & -\omega^2 & 1 \\ 1 & 0 & -\omega^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y = \omega^2 x, z = \omega x\) を得る。 そこで、
\[
\begin{aligned}
U
&= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega
\end{pmatrix}
\\
&= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\
1 & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、これはユニタリ行列であり、
\[
\begin{aligned}
U^{-1} T U
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & \omega^2
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
となる。
(2)
3次の複素行列
\[
\begin{aligned}
A
&= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を考えると、
\[
\begin{aligned}
TA
&= \begin{pmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13}
\end{pmatrix}
\\
AT
&= \begin{pmatrix}
a_{13} & a_{11} & a_{12} \\
a_{23} & a_{21} & a_{22} \\
a_{33} & a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
となるので、 \(AT=TA\) のとき
\[
\begin{aligned}
a_{11} = a_{22} = a_{33},
a_{12} = a_{23} = a_{31},
a_{13} = a_{21} = a_{32}
\end{aligned}
\]
である。 よって、 \(T\) と交換可能な任意の行列は適当な複素数 \(a,b,c\) を使って
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と書け、逆に、このように書ける行列は \(T\) と交換可能である。 よって、 \(T\) と交換可能な3次の複素行列の全体は
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を基底とする3次元複素ベクトル空間をなす。
(3)
3次の複素行列
\[
\begin{aligned}
A =
\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を考えると、
\[
\begin{aligned}
SA &= \begin{pmatrix}
a & b & c \\ 2c & 2a & 2b \\ 3b & 3c & 3a \end{pmatrix}
\\
AS &= \begin{pmatrix}
a & 2b & 3c \\ c & 2a & 3b \\ b & 2c & 3a \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
となるので、 \(AS=SA\) のとき
\[
\begin{aligned}
b=c=0
\end{aligned}
\]
である。 よって、 \(S\) と交換可能な任意の行列は適当な複素数 \(a\) を使って
\[
\begin{aligned}
a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と書け、逆に、このように書ける行列は \(S\) と交換可能である。 よって、 \(T\) および \(S\) と交換可能な3次の複素行列の全体は
\[
\begin{aligned}
a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( a \text{ は任意の複素数 } )
\end{aligned}
\]
である。