名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題5 量子力学
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Kai
(1)
(2)
\[
\begin{aligned}
X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\ \ \left( = I \text{ とおく } \right)
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
e^{i \frac{\pi}{4} X}
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( i \frac{\pi}{4} X \right)^n
\\
&= I \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n}
+ iX \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}
\left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1}
\\
&= I \cos \frac{\pi}{4} + iX \sin \frac{\pi}{4}
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\[
\begin{aligned}
\langle X \rangle_\varphi
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\\
&= 1
\\
\langle X \rangle_\psi
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}
\\
&= 0
\end{aligned}
\]
(4)
題意の状態は、密度行列
\[
\begin{aligned}
\rho_1
&= p | \varphi \rangle \langle \varphi |
+ (1-p) | \psi \rangle \langle \psi |
\\
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix} 1 & p-i(1-p) \\ p+i(1-p) & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
で表される混合状態のことだと思われる。 このとき、求める期待値は
\[
\begin{aligned}
\mathrm{Tr} \left( X \rho_1 \right)
&= \frac{1}{2} \mathrm{Tr}
\begin{pmatrix} p+i(1-p) & 1 \\ 1 & p-i(1-p) \end{pmatrix}
\\
&= p
\end{aligned}
\]
である。
（あるいは、
\[
\begin{aligned}
p \langle X \rangle_\varphi
+ (1-p) \langle X \rangle_\psi
&= p
\end{aligned}
\]
によっても求められる。）
(5)
\[
\begin{aligned}
| 0 \rangle \otimes | 0 \rangle
&= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
| 1 \rangle \otimes | 1 \rangle
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
| \Phi \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
X \otimes X
= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
\langle X \otimes X \rangle_\Phi
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\\
&= 1
\end{aligned}
\]
である。
(6)
\[
\begin{aligned}
| 0,0 \rangle
= | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle
= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
| 1,1 \rangle
=
| 1 \rangle \otimes | 1 \rangle
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、題意の状態は、密度行列
\[
\begin{aligned}
\rho_2
&= p | 0,0 \rangle \langle 0,0 |
+ (1-p) | 1,1 \rangle \langle 1,1 |
\\
&= \begin{pmatrix}
p & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
で表される混合状態のことだと思われる。 このとき、求める期待値は
\[
\begin{aligned}
\mathrm{Tr} \left( (X \otimes X) \rho_2 \right)
&= \mathrm{Tr}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-p & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\
&= 0
\end{aligned}
\]
である。