名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2023年8月実施 問題1 線形代数
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と書くと、
\[
\begin{aligned}
\left( \boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2 \right) \otimes \boldsymbol{w}
&= \begin{pmatrix}
(x_1+y_1) \boldsymbol{w} \\ (x_2+y_2) \boldsymbol{w}
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} x_1 \boldsymbol{w} \\ x_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} y_1 \boldsymbol{w} \\ y_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix}
\\
&= \boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}
+ \boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}
\end{aligned}
\]
がわかる。
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v} \otimes \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right)
&= \begin{pmatrix}
v_1 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right) \\
v_2 \left( \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \right)
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_1 \\ v_2 \boldsymbol{w}_1 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w}_2 \\ v_2 \boldsymbol{w}_2 \end{pmatrix}
\\
&= \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_1
+ \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}_2
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \boldsymbol{w}
&= \begin{pmatrix}
\alpha v_1 \boldsymbol{w} \\ \alpha v_2 \boldsymbol{w}
\end{pmatrix}
\\
&= \alpha
\begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix}
\\
&= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right)
\\
\boldsymbol{v} \otimes \left( \alpha \boldsymbol{w} \right)
&= \begin{pmatrix}
v_1 \alpha \boldsymbol{w} \\ v_2 \alpha \boldsymbol{w}
\end{pmatrix}
\\
&= \alpha
\begin{pmatrix} v_1 \boldsymbol{w} \\ v_2 \boldsymbol{w} \end{pmatrix}
\\
&= \alpha \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right)
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\left( A \otimes B \right)
\left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right)
&= \left( A \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( B \boldsymbol{w} \right)
\\
&= \left( \alpha \boldsymbol{v} \right) \otimes \left( \beta \boldsymbol{w} \right)
\\
&= \alpha \beta \left( \boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \right)
\end{aligned}
\]
なので、 \(\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}\) は \(\alpha \beta\) を固有値にもつ \(A \otimes B\) の固有ベクトルであることがわかる。
(3)
\[
\begin{aligned}
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
, \ \
B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
M = A \otimes B
\end{aligned}
\]
である。
\(A\) の固有値は \(\alpha_1 = 1, \alpha_2 = 3\) であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。 また、 \(B\) の固有値は \(\beta_1 = 2, \beta_2 = 4\) であり、 それぞれに属する固有ベクトルは例えば
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
よって、 (2) より、 \(\alpha_1 \beta_1 = 2, \alpha_1 \beta_2 = 4, \alpha_2 \beta_1 = 6, \alpha_2 \beta_2 = 12\) は \(M\) の固有値であり、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_1
= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_1 \otimes \boldsymbol{w}_2
= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_1
= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_2 \otimes \boldsymbol{w}_2
= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
はそれぞれに属する固有ベクトルであることがわかる。 \(M\) は 4次正方行列なので、これら以外に固有値・固有ベクトルはない （固有ベクトルの実数倍の不定性は除く）。