名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2019年8月実施 6.量子力学
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Kai
(1)
(2)
\[
\begin{aligned}
\left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^2
&=
\begin{pmatrix}
z & x-iy \\ x+iy & -z
\end{pmatrix}^2
\\
&=
\begin{pmatrix}
x^2+y^2+z^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2+z^2
\end{pmatrix}
\\
&=
I
\end{aligned}
\]
であるから、すべての \(n \in \mathbb{N}\) に対して、
\[
\begin{aligned}
\left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n} = I
, \ \ \ \
\left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n+1}
= \vec{v} \cdot \vec{\sigma}
\end{aligned}
\]
が成り立つ。
(3)
\[
\begin{aligned}
e^{i t \vec{v} \cdot \vec{\sigma}}
&=
\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}
\left( it \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^k
\\
&=
\left( 1 - \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{4!} t^4 - \cdots \right) I
+ i \left( t - \frac{1}{3!} t^3 + \frac{1}{5!} t^5 - \cdots \right)
\vec{v} \cdot \vec{\sigma}
\\
&=
(\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma}
\end{aligned}
\]
(4)
\((\vec{v} \cdot \vec{\sigma})^\dagger = \vec{v} \cdot \vec{\sigma}\) であるから、 すべての \(t \in \mathbb{R}\) に対して、
\[
\begin{aligned}
U_t^\dagger
&=
(\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma}
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
U_t U_t^\dagger
&=
\left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\}
\left\{ (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\}
\\
&=
I
\end{aligned}
\]
であるから、 \(U_t\) はユニタリー行列である。
(5)
\[
\begin{aligned}
\left| \psi \right\rangle
&=
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\\
\left| \psi_t \right\rangle
&=
U_t \left| \psi \right\rangle
\\
&=
\left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\}
\left| \psi \right\rangle
\\
&=
\cos t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
+ i \sin t \begin{pmatrix} z \\ x+iy \end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\left\langle \psi_t \right| Z \left| \psi_t \right\rangle
&=
\left\langle \psi_t \right|
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\cos t - iz \sin t & (-ix-y) \sin t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos t + iz \sin t \\ (-ix+y) \sin t
\end{pmatrix}
\\
&=
\cos^2 t + z^2 \sin^2 t - (x^2 + y^2) \sin^2 t
\\
&=
\cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t
\end{aligned}
\]
である。 また、 \(Z^2=I\) であるから、
\[
\begin{aligned}
\left\langle \psi_t \right| Z^2 \left| \psi_t \right\rangle
&=
\left\langle \psi \right| U_t^\dagger U_t \left| \psi \right\rangle
\\
&=
\langle \psi | \psi \rangle
\\
&=
1
\end{aligned}
\]
である。 よって、
\[
\begin{aligned}
\sigma(Z,t)^2
&=
1 - \left\{ \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \right\}^2
\end{aligned}
\]
を得る。