名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2018年8月実施 6.量子力学
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Kai
(1)
(2)
\(A\) の固有値は \(0,2\) であり、それぞれに属する固有状態は、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}
, \ \
\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\(a,b \in \mathbb{R}\) で、 \(\langle \psi | \psi \rangle = a^2+b^2 = 1\) であり、
\[
\begin{aligned}
\langle A \rangle_\psi
&=
\begin{pmatrix} a & -ib \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a \\ ib \end{pmatrix}
\\
&=
(a-b)^2
\end{aligned}
\]
であるから、\(\langle A \rangle_\psi = 0\) となるのは、
\[
\begin{aligned}
a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}
\ ; \ \
a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
の2通りである。
(4)
\[
\begin{aligned}
\langle \psi | A^2 | \psi \rangle
&= 2 (a-b)^2
\\
\therefore \ \
\sigma(A)_\psi^2
&= 2 (a-b)^2 - (a-b)^4
\\
&= (a-b)^2 \left\{2 - (a-b)^2 \right\}
\end{aligned}
\]
であるから、\(\sigma(A)_\psi^2 = 0\) となるのは、
\[
\begin{aligned}
a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}
&\ ; \ \
a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}}
\ ; \ \
\\
a = \frac{1}{\sqrt{2}},
b = - \frac{1}{\sqrt{2}}
&\ ; \ \
a = - \frac{1}{\sqrt{2}},
b = \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
の4通りである。
(5)
\(x,y,z,w \in \mathbb{C}\) について、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} xz \\ xw \\ yz \\ yw \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ id \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(xw=0\) であるから、 \(x=0\) または \(w=0\) であり、したがって \(c=0\) または \(d=0\) である。 よって、 \(c \neq 0\) かつ \(d \neq 0\) ならば、 上式を満たす \(x,y,z,w\) は存在しないことがわかる。