名古屋大学 情報学研究科 数理情報学専攻 2017年8月実施 問題6 量子力学
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Kai
(1)
(2)
\(X\) の固有値は \(1,-1\) であり、それぞれに属する固有状態は、
\[
\begin{aligned}
| X=1 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
| X=-1 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
\(Y\) の固有値は \(1,-1\) であり、それぞれに属する固有状態は、
\[
\begin{aligned}
| Y=1 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}
, \ \
| Y=-1 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
\(Z\) の固有値は \(1,-1\) であり、それぞれに属する固有状態は、
\[
\begin{aligned}
| Z=1 \rangle
= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
| Z=-1 \rangle
= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
次のようにおく：
\[
\begin{aligned}
| \psi_1^X \rangle = | X=1 \rangle&, \ \
| \psi_2^X \rangle = | X=-1 \rangle,
\\
| \psi_1^Y \rangle = | Y=1 \rangle&, \ \
| \psi_2^Y \rangle = | Y=-1 \rangle,
\\
| \psi_1^Z \rangle = | Z=1 \rangle&, \ \
| \psi_2^Z \rangle = | Z=-1 \rangle
\end{aligned}
\]
このとき、
\[
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{1}{2} (a+2b+d)
\\
x_2 &= \frac{1}{2} (a-2b+d)
\\
y_1 &= \frac{1}{2} (a+2c+d)
\\
y_2 &= \frac{1}{2} (a-2c+d)
\\
z_1 &= a
\\
z_2 &= d
\end{aligned}
\]
である。
(4)
(3) より、
\[
\begin{aligned}
a &= z_1
\\
d &= z_2
\\
b &= x_1 - \frac{1}{2} z_1 - \frac{1}{2} z_2
\\
c &= y_1 - \frac{1}{2} z_1 - \frac{1}{2} z_2
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
A
&=
\begin{pmatrix}
z_1
&
x_1 - iy_1 - \frac{1}{2}(1-i)(z_1+z_2)
\\
x_1 + iy_1 - \frac{1}{2}(1+i)(z_1+z_2)
&
z_2
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と書ける。
(5)
\[
\begin{aligned}
\langle \psi_1^Y | A | \psi_1^Y \rangle
&=
\frac{1}{2} (a+2c+d)
\\
\langle \psi_1^Y | A^2 | \psi_1^Y \rangle
&=
\frac{1}{2} (a^2 + d^2) + (a+d)c + b^2 + c^2
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\tau
&=
\frac{1}{2} (a^2 + d^2) + (a+d)c + b^2 + c^2
- \left( \frac{1}{2} (a+2c+d) \right)^2
\\
&=
\frac{1}{4} (a-d)^2 + b^2
\end{aligned}
\]
を得る。
(6)
(5) より、
\[
\begin{aligned}
\tau = 0
&\Leftrightarrow
a=d, b=0
\\
&\Leftrightarrow
A
= \begin{pmatrix} a & -ic \\ ic & a \end{pmatrix}
= aI+cY
\end{aligned}
\]
がわかる。