名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻・知能システム学専攻 2019年8月実施 確率・統計
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Kai
[1]
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{1}{16}
\end{aligned}
\]
(4)
求める期待値 \(E(\text{表})\) は、
\[
\begin{aligned}
E \left( \text{表} \right)
=
1 \cdot \frac{1}{2}
+ 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2
+ 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3
+ \cdots
\end{aligned}
\]
であるが、両辺 \(1/2\) 倍すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} E \left( \text{表} \right)
=
1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2
+ 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3
+ 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4
+ \cdots
\end{aligned}
\]
となる。 1番目の式から2番目の式を引くと、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} E \left( \text{表} \right)
&=
\frac{1}{2}
+ \left( \frac{1}{2} \right)^2
+ \left( \frac{1}{2} \right)^3
+ \cdots
\\
&=
\frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}
\\
&=
1
\end{aligned}
\]
となるから、
\[
\begin{aligned}
E \left( \text{表} \right) = 2
\end{aligned}
\]
を得る。
(5)
与えられた式を整理して、
\[
\begin{aligned}
E \left( \text{表表} \right)
&=
2 E \left( \text{表} \right) + 2
\\
&=
6
\end{aligned}
\]
を得る。
(6)
(5) と同じように考えて、
\[
\begin{aligned}
E \left( \text{表表表} \right)
&=
2 E \left( \text{表表} \right) + 2
\\
&=
14
\end{aligned}
\]
を得る。
[2]
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x} f_{X,Y}(x,y)
&=
a ( -x^2 + 2x + y^2 ) e^{-x}
\\
\frac{\partial}{\partial y} f_{X,Y}(x,y)
&=
-2ay e^{-x}
\end{aligned}
\]
であるから、 \(f_{X,Y}(x,y)\) が最大となるのは \(x=2,y=0\) のときである。
(2)
\[
\begin{aligned}
f_X(x)
&=
a e^{-x} \int_{-x}^x ( x^2 - y^2 ) dy
\\
&=
\frac{4}{3} a x^3 e^{-x}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
1
&=
\int_0^\infty f_X(x) dx
\\
&=
\frac{4}{3} a \int_0^\infty x^3 e^{-x} dx
\\
&=
8a
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
a = \frac{1}{8}
\end{aligned}
\]
である。
(4)
\[
\begin{aligned}
\mu_x
&=
\int_0^\infty x f_X(x) dx
\\
&=
\frac{1}{6} \int_0^\infty x^4 e^{-x} dx
\\
&=
4
\end{aligned}
\]