名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻・知能システム学専攻 2018年8月実施 確率・統計
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Kai
[1]
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}
+ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6}
= \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \cdot \frac{{}_6C_2 - {}_4C_2}{{}_6C_2}
+ \frac{1}{2} \cdot \frac{{}_6C_2 - 3}{{}_6C_2}
= \frac{7}{10}
\end{aligned}
\]
(3)
初めに箱 A, B を選ぶことをそれぞれ \(X_1=A,B\) で表し、 次に箱 A, B を選ぶことをそれぞれ \(X_2=A,B\) で表す。 また、初めに赤玉を選ぶことを \(Y_1=R\) で表し、 次に赤玉を選ぶことを \(Y_2=R\) で表す。
初めの玉が赤玉であったとき、選んだ箱がA,Bであった確率は、 それぞれ、
\[
\begin{aligned}
P(X_1 = A \mid Y_1 = R)
&=
\frac{P(X_1=A) P(Y_1=R \mid X_1=A)}{P(Y_1=R)}
=
\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}}{\frac{1}{2}}
= \frac{2}{3}
\\
P(X_1 = B \mid Y_1 = R)
&=
\frac{P(X_1=B) P(Y_1=R \mid X_1=B)}{P(Y_1=R)}
=
\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6}}{\frac{1}{2}}
= \frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
である。 初めに箱Aを選んで赤玉を取り出したとき、 次に箱 A, B を選んで赤玉を取り出す確率は、それぞれ、
\[
\begin{aligned}
P(Y_2=R \mid X_1 = A , Y_1 = R, X_2=A)
&=
\frac{3}{5}
\\
P(Y_2=R \mid X_1 = A , Y_1 = R, X_2=B)
&=
\frac{2}{6}
=
\frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
であり、 初めに箱Bを選んで赤玉を取り出したとき、 次に箱 A, B を選んで赤玉を取り出す確率は、それぞれ、
\[
\begin{aligned}
P(Y_2=R \mid X_1 = B , Y_1 = R, X_2=A)
&=
\frac{4}{6}
=
\frac{2}{3}
\\
P(Y_2=R \mid X_1 = B , Y_1 = R, X_2=B)
&=
\frac{1}{5}
\end{aligned}
\]
である。 よって、 初めに赤玉を取り出したとき、次に同じ箱を選んで赤玉を取り出す確率は、
\[
\begin{aligned}
&
P(X_1=A \mid Y_1=R)
P(Y_2=R \mid X_1=A , Y_1=R, X_2=A)
\\
& \ \ \ \ +
P(X_1=B \mid Y_1=R)
P(Y_2=R \mid X_1=B , Y_1=R, X_2=B)
\\
&=
\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}
+ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}
\\
&=
\frac{7}{15}
\end{aligned}
\]
であり、 次に別の箱を選んで赤玉を取り出す確率は、
\[
\begin{aligned}
&
P(X_1=A \mid Y_1=R)
P(Y_2=R \mid X_1=A , Y_1=R, X_2=B)
\\
& \ \ \ \ +
P(X_1=B \mid Y_1=R)
P(Y_2=R \mid X_1=B , Y_1=R, X_2=A)
\\
&=
\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}
+ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}
\\
&=
\frac{4}{9}
\end{aligned}
\]
であるから、前者の方が大きい。
[2]
(1)
\[
\begin{aligned}
1
&=
12 \int_0^1 x^2(a-x) dx
\\
&=
4a-3
\\
\therefore \ \ \ \
a &= 1
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
12 \int_0^{1/3} x^2(1-x) dx
= \frac{1}{9}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
\mu
&=
12 \int_0^1 x^3 (1-x) dx
\\
&= \frac{3}{5}
\\
\sigma^2
&=
12 \int_0^1 x^4 (1-x) dx
- \left( \frac{3}{5} \right)^2
\\
&= \frac{1}{25}
\end{aligned}
\]
(4)
表が出る確率 \(\theta\) のコインを \(n\) 回投げて すべて表が出る確率は \(\theta^n\) であるから、 これの期待値は、
\[
\begin{aligned}
\int_0^1 \theta^n f(\theta) d \theta
&=
12 \int_0^1 \theta^{n+2} (1- \theta) d \theta
\\
&=
\frac{12}{(n+3)(n+4)}
\end{aligned}
\]
である。