名古屋大学 情報学研究科 情報システム学専攻・知能システム学専攻 2017年8月実施 確率・統計
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Kai
[1]
10分間でその事象が発生する確率の確率分布は、平均5のポアソン分布である。 よって、3回発生する確率は、
\[
\begin{aligned}
\frac{5^3 e^{-5}}{3!}
&\approx
0.14
\end{aligned}
\]
である。
[2]
[3]
(1)
求めるモーメント母関数 \(M_X(t)\) は、
\[
\begin{aligned}
M_X(t)
&=
E \left[ e^{tX} \right]
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty e^{tx} e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} dx
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty
e^{ - \frac{x^2 - 2 ( \mu + \sigma^2 t ) x + \mu^2}{2 \sigma^2}}
dx
\\
&=
e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \cdot
\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty
e^{- \frac{(x - (\mu + \sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2}} dx
\\
&=
e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\end{aligned}
\]
となる。
(2)
求めるモーメント母関数 \(M_Z(t)\) は、
\[
\begin{aligned}
M_Z(t)
&=
E \left[ e^{tZ} \right]
\\
&=
E \left[ e^{t(X+Y)} \right]
\\
&=
E \left[ e^{tX} \right] E \left[ e^{tY} \right]
\\
&=
e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\cdot
e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
\\
&=
e^{2 \mu t + \sigma^2 t^2}
\end{aligned}
\]
となる。 したがって、 \(Z\) は正規分布 \(N(2 \mu, 2 \sigma^2)\) に従うことがわかる。