名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2019年8月実施 解析・線形代数
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Kai
[1]
(a)
\[
\begin{aligned}
z
= \left( 1 + i \right)^8
= \left( \sqrt{2} e^{ \frac{\pi}{4} i } \right)^8
= 2^4 e^{ 2 \pi i }
= 16
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
u=16, v=0
\end{aligned}
\]
である。
(b)
\(8 = |z| = 2^{n/2}\) より、 \(n=6\) なので、
\[
\begin{aligned}
z
= \left( 1 + i \right)^6
= \left( \sqrt{2} e^{ \frac{\pi}{4} i } \right)^6
= 2^3 e^{ \frac{3}{2} \pi i }
= -8i
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
u=0, v=-8
\end{aligned}
\]
である。
[2]
[3]
(a)
時刻 \(t\) における P の速度の大きさを \(v(t)\) とすると、
\[
\begin{aligned}
v(t)
&= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }
\\
&= \sqrt{ 9 \sin^4 t \cos^2 t + 9 \sin^2 t \cos^4 t }
\\
&= \sqrt{ 9 \sin^2 t \cos^2 t }
\\
&= \frac{3}{2} \left| \sin 2t \right|
\end{aligned}
\]
であるから、求める長さ \(l\) は
\[
\begin{aligned}
l
&= \int_0^{2 \pi} v(t) dt
\\
&= \frac{3}{2} \int_0^{2 \pi} \left| \sin 2t \right| dt
\\
&= 3 \int_0^{\pi} \left| \sin 2t \right| dt
\\
&= 3 \left( \int_0^{\pi/2} \sin 2t dt - \int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2t dt \right)
\\
&= \frac{3}{2} \left(
- \left[ \cos 2t \right]_0^{\pi/2}
+ \left[ \cos 2t \right]_{\pi/2}^{\pi} \right)
\\
&= 6
\end{aligned}
\]
である。
(b)
\(0 \lt t \lt \pi / 2\) において、
\[
\begin{aligned}
v(t) &= \frac{3}{2} \sin 2t
\end{aligned}
\]
であるから、 \(v(t)\) が最大になるのは、 \(t = \pi / 4\) のときであり、 このとき、
\[
\begin{aligned}
x &= \sin^3 \frac{\pi}{4}
= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}}
\\
y &= \cos^3 \frac{\pi}{4}
= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
である。