名古屋大学 環境学研究科 地球環境科学専攻 地球惑星科学系 2023年度 H (数学)
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Kai
問題 1
\[
\begin{aligned}
\det \begin{pmatrix}
1+a & a & -1 \\ a-1 & 0 & a+1 \\ 2a & a & 2a+1
\end{pmatrix}
&= -a^3 + a
\\
&= - a(a+1)(a-1)
\end{aligned}
\]
なので、与えられた連立方程式が自明でない解をもつのは \(a=-1,0,1\) のときである。
問題 2
問 1
\[
\begin{aligned}
\int_0^1 x \log_e x dx
&= \left[ \frac{x^2}{2} \log_e x \right]_0^1
- \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \cdot \frac{1}{x} dx
\\
&= - \frac{1}{2} \int_0^1 x dx
\\
&= - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1
\\
&= - \frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
問 2
\[
\begin{aligned}
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx
&= \int_0^\frac{\pi}{2}
\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d \theta
\ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \sin \theta )
\\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 \theta d \theta
\\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} d \theta
\\
&= \frac{\pi}{4}
\end{aligned}
\]
問題 3
問 1
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{u^2} &= \frac{dt}{t}
\\
- \frac{1}{u} &= \log |t| + C
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } )
\\
\therefore \ \
u &= - \frac{1}{ \log |t| + C }
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
問 2
\(v=u-t\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2v}{dt^2}
&= \frac{d^2u}{dt^2}
\\
&= -u+t
\\
&= -v
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
v &= A \sin t + B \cos t
\ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } )
\\
\therefore \ \
u &= A \sin t + B \cos t + t
\ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
がわかる。
問題 4
問 1
(1)
\[
\begin{aligned}
F (2 \omega)
&= \int_{- \infty}^\infty f(s) \exp (-2i \omega s) ds
\\
&= \int_{- \infty}^\infty f \left( \frac{t}{2} \right)
\exp (-i \omega t) \frac{dt}{2}
\ \ \ \ \ \ \ \ (t=2s)
\end{aligned}
\]
なので、 \(F(2\omega)\) の逆フーリエ変換は
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} f \left( \frac{t}{2} \right)
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\[
\begin{aligned}
F (\omega-1)
&= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (-i (\omega-1) t) dt
\\
&= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (it) \exp (-i \omega t) dt
\end{aligned}
\]
なので、 \(F(\omega-1)\) の逆フーリエ変換は
\[
\begin{aligned}
f(t) \exp (it)
\end{aligned}
\]
である。
問 2
\[
\begin{aligned}
F(\omega)
&= \int_{-T}^T \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt
\\
&= - \frac{1}{i \omega}
\left[ \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) \right]_{-T}^T
+ \frac{\omega_0}{i \omega} \int_{-T}^T \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt
\\
&= - \frac{1}{i \omega}
\sin (\omega_0 T) \left( \exp(-i \omega T) + \exp(i \omega T) \right)
+ \frac{\omega_0}{i \omega} \int_{-T}^T \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt
\\
&= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T)
+ \frac{\omega_0}{\omega^2}
\left[ \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) \right]_{-T}^T
+ \frac{\omega_0^2}{\omega^2}
\int_{-T}^T \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt
\\
&= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T)
+ \frac{\omega_0}{\omega^2} \cos (\omega_0 T)
\left( \exp(-i \omega T) - \exp(i \omega T) \right)
+ \frac{\omega_0^2}{\omega^2} F(\omega)
\\
&= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T)
- \frac{2i \omega_0}{\omega^2} \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T)
+ \frac{\omega_0^2}{\omega^2} F(\omega)
\\
\therefore \ \
\left( \omega^2 - \omega_0^2 \right) F(\omega)
&= 2i \left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T)
- \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right)
\end{aligned}
\]
なので、 \(\omega \ne \omega_0\) のとき
\[
\begin{aligned}
F(\omega)
&= \frac{2i}{\omega^2 - \omega_0^2}
\left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T)
- \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right)
\end{aligned}
\]
である。
問題 5
問 1
\[
\begin{aligned}
\int_0^\infty \phi(\tau) d \tau
&= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau
\\
&= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty
\\
&= 1
\end{aligned}
\]
問 2
\[
\begin{aligned}
\int_0^\infty \tau \phi(\tau) d \tau
&= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty
\tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau
\\
&= - \left[ \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty
+ \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau
\\
&= - \mu \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty
\\
&= \mu
\end{aligned}
\]
問 3
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \int_0^1 \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) d \tau
&= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) \right]_0^1
\\
&= - \frac{1}{\sqrt{e}} + 1
\end{aligned}
\]