九州大学 理学府 物理学専攻 2020年度 物理学 [I]
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Kai
[A-I]
(1)
\[
\begin{aligned}
\delta q (t_1) = \delta q (t_2) = 0
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
L \left( q + \delta q, \dot{q} + \delta \dot{q} \right)
\simeq
L \left( q, \dot{q} \right)
+ \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial q} \delta q
+ \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
\delta S[q]
&\simeq \int_{t_1}^{t_2} dt \left(
\frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial q} \delta q
+ \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}
\right)
\\
&= \int_{t_1}^{t_2} dt \left(
\frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial q} \delta q
+ \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}}
\frac{d}{dt} \delta q \right)
\\
&=
\left[
\frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}} \delta q
\right]_{t_1}^{t_2}
+ \int_{t_1}^{t_2} dt \left(
\frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial q}
- \frac{d}{dt} \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}}
\right) \delta q
\\
&=
\int_{t_1}^{t_2} dt \left(
\frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial q}
- \frac{d}{dt} \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}}
\right) \delta q
\end{aligned}
\]
任意の微小な仮想変位 \(\delta q\) に対してこれが \(0\) であるとして、 オイラー-ラグランジュ方程式
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial q}
- \frac{d}{dt} \frac{\partial L \left( q, \dot{q} \right)}{\partial \dot{q}}
= 0
\end{aligned}
\]
を得る。
[A-II]
(1)
\[
\begin{aligned}
L \left( q, \dot{q} \right)
&= \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - \frac{1}{2} k q^2
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial q} &= -kq
\\
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q}
&= \frac{d}{dt} m \dot{q}
= m \ddot{q}
\end{aligned}
\]
なので、オイラー-ラグランジュ方程式は、
\[
\begin{aligned}
m \ddot{q} = -kq
\end{aligned}
\]
となる。
(3)
\[
\begin{aligned}
E(t)
&= m \dot{q}^2 - \left( \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - \frac{1}{2} k q^2 \right)
\\
&= \frac{1}{2} m \dot{q}^2 + \frac{1}{2} k q^2
\\
\frac{d}{dt} E(t)
&= m \dot{q} \ddot{q} + k q \dot{q}
\\
&= m \dot{q} \cdot \left(- \frac{k}{m} q \right) + k q \dot{q}
\\
&= 0
\end{aligned}
\]
(4)
\(\omega = \sqrt{k/m}\) として、
\[
\begin{aligned}
q(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t
\end{aligned}
\]
ただし、 \(A, B\) は積分定数である。
[B]
x, y, z 軸の正の方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\) とする。
(1)
\(I \omega_1 \boldsymbol{k}\)
(2)
\(\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j}\) なので、y 軸の正の方向である。
(3)
\(I \omega_1 \boldsymbol{k} + lF \Delta t \boldsymbol{j}\)
(4)
\[
\begin{aligned}
\cos \theta
&= \frac{ \boldsymbol{k} \cdot
\left( I \omega_1 \boldsymbol{k} + lF \Delta t \boldsymbol{j} \right)}
{
\left| I \omega_1 \boldsymbol{k} + lF \Delta t \boldsymbol{j} \right|}
\\
&= \frac{I \omega_1}{\sqrt{I^2 \omega_1^2 + l^2 F^2 \Delta t^2}}
\end{aligned}
\]
(5)
\[
\begin{aligned}
\left( X \boldsymbol{i} + Y \boldsymbol{j} + Z \boldsymbol{k} \right)
\times \left( - mg \boldsymbol{k} \right)
= mg \left( - Y \boldsymbol{i} + X \boldsymbol{j} \right)
\end{aligned}
\]
(6)
O から重心に向かう単位ベクトルは、
\[
\begin{aligned}
\frac{X \boldsymbol{i} + Y \boldsymbol{j} + Z \boldsymbol{k}}{R}
\end{aligned}
\]
と書けるから、求める運動方程式は、時間微分を \(\dot{}\) で表して、
\[
\begin{aligned}
\frac{I \omega_2}{R}
\left( \dot{X} \boldsymbol{i} + \dot{Y} \boldsymbol{j} + \dot{Z} \boldsymbol{k} \right)
= mg \left( - Y \boldsymbol{i} + X \boldsymbol{j} \right)
\end{aligned}
\]
あるいは成分で書けば
\[
\begin{aligned}
\dot{X} &= - \frac{mgR}{I \omega_2} Y
\\
\dot{Y} &= \frac{mgR}{I \omega_2} X
\\
\dot{Z} &= 0
\end{aligned}
\]
である。
(7)
まず、 \(Z = R \cos \alpha\) はすぐにわかる。
次に、コマの軸をxy平面に射影したときのx軸からの角度を \(\varphi\) とすると、
\[
\begin{aligned}
X &= R \sin \alpha \cos \varphi
\\
Y &= R \sin \alpha \sin \varphi
\end{aligned}
\]
であるから、これを (6) の運動方程式に代入して、次を得る：
\[
\begin{aligned}
\dot{\varphi} = \frac{mg}{I \omega_2}
\end{aligned}
\]
\(t=0\) のとき \(\varphi = 0\) であるから、次がわかる：
\[
\begin{aligned}
\varphi = \frac{mgt}{I \omega_2}
\end{aligned}
\]
まとめると、求める解は、
\[
\begin{aligned}
X &= R \sin \alpha \cos \frac{mgt}{I \omega_2}
\\
Y &= R \sin \alpha \sin \frac{mgt}{I \omega_2}
\\
Z &= R \cos \alpha
\end{aligned}
\]
である。
(8)
(7) より
\[
\begin{aligned}
\Omega
&= \dot{\varphi}
\\
&= \frac{mg}{I \omega_2}
\end{aligned}
\]