九州大学 数理学府 数理学コース 2018年度 専門科目 [10]
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Kai
(1)
\(i=1,2, \cdots, n\) について、
\[
\begin{aligned}
E(X_i)
&=
\int_0^\theta x \cdot \frac{1}{\theta} dx
\\
&=
\frac{1}{\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\theta
\\
&=
\frac{\theta}{2}
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
E(2 \bar{X})
&=
E \left( \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right)
\\
&=
\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)
\\
&=
\frac{2}{n} \cdot n \cdot \frac{\theta}{2}
\\
&=
\theta
\end{aligned}
\]
であるから、 \(2 \bar{X}\) は \(\theta\) の不偏推定量である。
(2)
\(0 \leq z \lt \theta\) について、
\[
\begin{aligned}
P ( Z_2 \leq z )
&=
P ( X_1 \leq z \text{ and } X_2 \leq z )
\\
&=
P ( X_1 \leq z ) P ( X_2 \leq z )
\\
&=
\left( \int_0^z \frac{1}{\theta} dx \right)^2
\\
&=
\left( \frac{z}{\theta} \right)^2
\end{aligned}
\]
であるから、求める確率密度関数 \(f(z)\) は、
\[
\begin{aligned}
f(z)
&=
\frac{d}{dz} P ( Z_2 \leq z )
\\
&=
\frac{2z}{\theta^2}
\end{aligned}
\]
である。 ただし、 \(z \lt 0, z \gt \theta\) については、
\[
\begin{aligned}
f(z) = 0
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\(0 \leq z \lt \theta\) について、
\[
\begin{aligned}
P ( Z_n \leq z )
&=
P ( X_1 \leq z \text{ and } X_2 \leq z \text{ and } \cdots
\text{ and } X_n \leq z )
\\
&=
P ( X_1 \leq z ) P ( X_2 \leq z )
\cdots P ( X_n \leq z )
\\
&=
\left( \int_0^z \frac{1}{\theta} dx \right)^n
\\
&=
\left( \frac{z}{\theta} \right)^n
\end{aligned}
\]
であるから、求める確率密度関数 \(g(z)\) は、
\[
\begin{aligned}
g(z)
&=
\frac{d}{dz} P ( Z_n \leq z )
\\
&=
\frac{n z^{n-1}}{\theta^n}
\end{aligned}
\]
である。 ただし、 \(z \lt 0, z \gt \theta\) については、
\[
\begin{aligned}
g(z) = 0
\end{aligned}
\]
である。
(4)
\[
\begin{aligned}
E(Z_n)
&=
\int_{- \infty}^\infty z g(z) dz
\\
&=
\frac{n}{\theta^n} \int_0^\theta z^n dz
\\
&=
\frac{n}{n+1} \theta
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
E \left( \frac{n+1}{n} Z_n \right) &= \theta
\end{aligned}
\]
であり、 \(\frac{n+1}{n} Z_n\) は \(\theta\) の不偏推定量である。