九州大学 数理学府 MMAコース 2020年度 [4]
Author
Description
Kai
(1)
\(z=x+y, w=x\) とすると、 \(x=w, y=z-w\) であるから、
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w}
\\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\ 1 & -1
\end{vmatrix}
=
-1
\end{aligned}
\]
である。 さらに、 \(X,Y\) の同時確率密度関数は \(f(x) f(y)\) であるから、 \(Z=X+Y, W=X\) の同時確率密度関数 \(f_{ZW}(z,w)\) は、
\[
\begin{aligned}
f_{ZW}(z,w)
&=
f(x) f(y) |-1|
\\
&=
f(w) f(z-w)
\end{aligned}
\]
である。 よって、
\[
\begin{aligned}
f_Z(z)
&=
\int_{- \infty}^\infty f_{ZW}(z,w) dw
\\
&=
\int_{- \infty}^\infty f(w) f(z-w) dw
\\
&=
\int_{- \infty}^\infty f(x) f(z-x) dx
\end{aligned}
\]
を得る。
(2)
(1) で示した通り、
\[
\begin{aligned}
f_Z(z)
&=
\int_{- \infty}^\infty f(x) f(z-x) dx
\end{aligned}
\]
であるが、今の場合、 \(0 \leq x \leq 1\) かつ \(0 \leq z-x \leq 1\) の場合以外は被積分関数は \(0\) である。 それをふまえて、 \(0 \leq z \leq 1\) のときは、
\[
\begin{aligned}
f_Z(z)
&=
4 \int_0^z x (z-x) dx
\\
&=
\frac{2}{3} z^3
\end{aligned}
\]
であり、 \(1 \leq z \leq 2\) のときは、
\[
\begin{aligned}
f_Z(z)
&=
4 \int_{z-1}^1 x (z-x) dx
\\
&=
\frac{2}{3} ( - z^3 + 6x - 4 )
\end{aligned}
\]
であり、 それ以外のときは、
\[
\begin{aligned}
f_Z(z)
&=
0
\end{aligned}
\]
である。