九州大学 数理学府 MMAコース 2019年度 [3]
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
E(T)
&=
a E( \bar{X} ) + b E( \bar{Y} ) + c E( \bar{Z} )
\\
&=
(a+b+c) \mu
\end{aligned}
\]
であるから、 \(T\) が \(\mu\) の不偏推定量となるための必要十分条件は、
\[
\begin{aligned}
a+b+c=1
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\[
\begin{aligned}
V(T)
&=
a^2 V( \bar{X} ) + b^2 V( \bar{Y} ) + c^2 V( \bar{Z} )
\\
&=
a^2 \cdot \frac{\sigma^2}{l}
+ b^2 \cdot \frac{\sigma^2}{m}
+ c^2 \cdot \frac{\sigma^2}{n}
\\
&=
\left(
\frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n}
\right)
\sigma^2
\end{aligned}
\]
そこで、ラグランジュの未定乗数 \(\lambda\) を導入して、
\[
\begin{aligned}
f(a,b,c)
=
\frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n}
-
\lambda (a+b+c)
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial a}
&=
\frac{2a}{l} - \lambda
\\
\frac{\partial f}{\partial b}
&=
\frac{2b}{m} - \lambda
\\
\frac{\partial f}{\partial c}
&=
\frac{2c}{n} - \lambda
\end{aligned}
\]
よって、 \(V(T)\) を最小にする \(a,b,c\) は
\[
\begin{aligned}
a &= \frac{l}{l+m+n} \\
b &= \frac{m}{l+m+n} \\
c &= \frac{n}{l+m+n}
\end{aligned}
\]
である。