九州大学 数理学府 MMAコース 2018年度 [6]
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
E(X_i)
&=
\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty x
\exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2 \right\} dx
\\
&\ \ \ \ +
\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty x
\exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - c \mu)^2 \right\} dx
\\
&=
\frac{1}{2} \mu
+ \frac{1}{2} c \mu
\\
&=
\frac{1+c}{2} \mu
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
E(\bar{X})
&=
\frac{1+c}{2} \mu
\end{aligned}
\]
であるから、 \(\frac{2}{1+c} \bar{X}\) は \(\mu\) の不偏推定量である。
(2)
\[
\begin{aligned}
E(X_i^2)
&=
\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty x^2
\exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2 \right\} dx
\\
&\ \ \ \ +
\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
\int_{- \infty}^\infty x^2
\exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - c \mu)^2 \right\} dx
\\
&=
\frac{1}{2} ( \sigma^2 + \mu^2 )
+ \frac{1}{2} ( \sigma^2 + c^2 \mu^2 )
\\
&=
\sigma^2 + \frac{1+c^2}{2} \mu^2
\\
V(X_i)
&=
E(X_i^2) - E(X_i)^2
\\
&=
\sigma^2 + \frac{1+c^2}{2} \mu^2
- \left( \frac{1+c}{2} \mu \right)^2
\\
&=
\sigma^2 + \frac{(1-c)^2}{4} \mu^2
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
V(\bar{X})
&=
\frac{1}{n} \left( \sigma^2 + \frac{(1-c)^2}{4} \mu^2 \right)
\end{aligned}
\]
を得る。
(3)
(2) より、 \(V(\bar{X})\) が最小になるのは、 \(c=1\) のときである。