九州大学 工学府 量子物理工学専攻 2022年度 数学 問題1
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Kai
[1]
(1) (2)
\[
\begin{aligned}
A = \frac{1}{3} B
, \ \
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
\(B\) の固有値を \(b\) とすると
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix} 1-b & 0 & 2 \\ -1 & 3-b & 1 \\ 1 & 0 & -b
\end{pmatrix}
\\
&= -(b+1)(b-2)(b-3)
\\
\therefore \ \
\lambda &= -1, 2, 3
\end{aligned}
\]
である。
\(B\) の固有値 \(b=-1\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=2y,x+z=0\) となる。
\(B\) の固有値 \(b=2\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=2z,y=z\) となる。
\(B\) の固有値 \(b=3\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=z=0\) となる。
そこで、
\[
\begin{aligned}
P = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
\det P &= -6
\\
P^{-1}
&= - \frac{1}{6} \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 3 & -6 & 0 \end{pmatrix}
\\
&= \frac{1}{6} \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -3 & 6 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
P^{-1} B P
= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
, \ \
P^{-1} A P
= \frac{1}{3}
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が成り立つ。
(3)
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} A^n
&= \lim_{n \to \infty} P \left( P^{-1} A P \right)^n P^{-1}
\\
&= \lim_{n \to \infty} P \begin{pmatrix}
\left( - \frac{1}{3} \right)^n & 0 & 0 \\
0 & \left( \frac{2}{3} \right)^n & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} P^{-1}
\\
&= P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1}
\\
&= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
[2]
(1)
\[
\begin{aligned}
\iint_R \left( 1 - x^2 - y^2 \right) dx dy
&= \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 dr \ r \left( 1 - r^2 \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ ( x = r \cos \theta, y = r \sin \theta )
\\
&= 2 \pi \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1
\\
&= \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
\]
(2)
\(0 \leq t \leq a\) として、 3点 \((t,0,0),(0,t,0),(0,0,t)\) を頂点とする正三角形を考えると、 この三角形上の点 \((x,y,z)\) について \(x+y+z=t\) であり、 この三角形の面積は
\[
\begin{aligned}
S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} t^2
\end{aligned}
\]
である。 よって、
\[
\begin{aligned}
\iiint_R \left( x+y+z \right) dx dy dz
&= \int_0^a t S(t) dt
\\
&= \frac{\sqrt{3}}{2} \int_0^a t^3 dt
\\
&= \frac{\sqrt{3}}{2} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^a
\\
&= \frac{\sqrt{3}}{8} a^4
\end{aligned}
\]
である。