九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2023年度 ③ 線形代数
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Kai
問題 1
(1)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{u}_{n+1}
&= \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_{n+2} \\ a_{n+3} \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
a_{n+1} \\ a_{n+2} \\ 4a_{n+2} - n_{n+1} - 6a_n \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_n \\ a_{n+1} \\ a_{n+2} \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
より、
\[
\begin{aligned}
A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ -6 & -1 & 4-\lambda
\end{pmatrix}
\\
&= - (\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3)
\\
\therefore \ \
\lambda &= -1, 2, 3
\end{aligned}
\]
を得る。
\(\lambda=-1\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -6 & -1 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=-y=z\) を得る。
\(\lambda=2\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ -6 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y=2x, z=4x\) を得る。
\(\lambda=3\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ -6 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y=3x, z=9x\) を得る。
よって、固有値 \(\lambda=-1,2,3\) のそれぞれに属する固有ベクトルとして、例えば、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
がある。
(3)
\[
\begin{aligned}
P
&= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、行列の基本変形または余因子行列を使った方法により、
\[
\begin{aligned}
P^{-1}
&= \frac{1}{12} \begin{pmatrix}
6 & -5 & 1 \\ 12 & 8 & -4 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
がわかり、
\[
\begin{aligned}
B
&= P^{-1} A P
\\
&= \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と対角化される。
(4)
\[
\begin{aligned}
A^n
&= P B^n P^{-1}
\\
&= \frac{1}{12}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
6 & -5 & 1 \\ 12 & 8 & -4 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
\frac{(-1)^n}{2} + 2^n - \frac{3^n}{2} &
\frac{5(-1)^{n+1}}{12} + \frac{2^{n+1}}{3} - \frac{3^n}{4} &
\frac{(-1)^n}{12} - \frac{2^n}{3} + \frac{3^n}{4} \\
\frac{(-1)^{n+1}}{2} + 2^{n+1} - \frac{3^{n+1}}{2} &
\frac{5(-1)^n}{12} + \frac{2^{n+2}}{3} - \frac{3^{n+1}}{4} &
\frac{(-1)^{n+1}}{12} - \frac{2^{n+1}}{3} + \frac{3^{n+1}}{4} \\
\frac{(-1)^n}{2} + 2^{n+2} - \frac{3^{n+2}}{2} &
\frac{5(-1)^{n+1}}{12} + \frac{2^{n+3}}{3} - \frac{3^{n+2}}{4} &
\frac{(-1)^n}{12} - \frac{2^{n+2}}{3} + \frac{3^{n+2}}{4} \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(5)
\[
\begin{aligned}
a_n
&= \begin{pmatrix}
\frac{(-1)^n}{2} + 2^n - \frac{3^n}{2} &
\frac{5(-1)^{n+1}}{12} + \frac{2^{n+1}}{3} - \frac{3^n}{4} &
\frac{(-1)^n}{12} - \frac{2^n}{3} + \frac{3^n}{4}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 12 \\ 24 \end{pmatrix}
\\
&=
\frac{5(-1)^{n+1}}{2} + 2^n + \frac{5 \cdot 3^n}{2}
\end{aligned}
\]