九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2023年度 ① 関数論
Author
Description
Kai
問題 1
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
&= e^x \cos y - e^x \cos y
\\
&= 0
\end{aligned}
\]
なので、 \(u(x,y)\) は調和関数である。
(2)
(Eq.1) の複素関数における Cauchy-Riemann の関係式は
\[
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x}
&= \frac{\partial v}{\partial y}
\tag{a} \label{a}
\\
\frac{\partial u}{\partial y}
&= - \frac{\partial v}{\partial x}
\tag{b} \label{b}
\end{align}
\]
である。
(3)
まず、(\(\ref{a}\)) より
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial y}
&= \frac{\partial u}{\partial x}
\\
&= e^x \cos y
\\
\therefore \ \
v(x,y) &= e^x \sin y + g(x)
\ \ \ \ \ \ \ \ ( g(x) \text{ は } x \text{ の実数値関数 } )
\end{aligned}
\]
であり、さらに (\(\ref{b}\)) より、
\[
\begin{aligned}
- e^x \sin y &= - e^x \sin y - \frac{dg(x)}{dx}
\\
\therefore \ \
\frac{dg(x)}{dx} &= 0
\\
\therefore \ \
g(x) &= C
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} )
\end{aligned}
\]
を得る。 よって、求める正則関数は
\[
\begin{aligned}
f(z)
&= e^x \cos y + i \left( e^x \sin y + C \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} )
\end{aligned}
\]
である。
問題 2
\[
\begin{aligned}
\int_C f(z) dz
&= \int_C \frac{dz}{(z-(\sqrt{3}-i))(z-(-\sqrt{3}-i))}
\\
&= 2 \pi i \lim_{z \to \sqrt{3}-i} \frac{1}{z-(-\sqrt{3}-i)}
\\
&= \frac{\pi i}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
\]
ここで、
\[
\begin{aligned}
\left| \sqrt{3} - i - 1 \right|^2
&= \left( \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( \sqrt{3} - 1 + i \right)
\\
&= 5 - 2 \sqrt{3}
\\
&\lt 2
\\
\left| - \sqrt{3} - i - 1 \right|^2
&= \left( - \sqrt{3} - 1 - i \right)
\left( - \sqrt{3} - 1 + i \right)
\\
&= 5 + 2 \sqrt{3}
\\
&\gt 2
\end{aligned}
\]
であるから、 \(f(z)\) の極 \(z=\sqrt{3}-i\) は \(C\) の内部にあり、 \(f(z)\) の極 \(z=-\sqrt{3}-i\) は \(C\) の外部にあることを使った。