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九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2023年度 ① 微分方程式

Author

Miyake

Description

問題 1

以下の微分方程式を解け。

\[ y' + y = x \]

ただし初期条件 \(y(0)=1\)

問題 2

以下の微分方程式を解け。

\[ y'' - y' + 2y = 0 \]

問題 3

以下の微分方程式を解け。

\[ y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \]

Kai

問題 1

まず、 \(y'+y=0\) の一般解は

\[ \begin{aligned} y = C e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned} \]

である。 次に、与えられた微分方程式に \(y = Ax+B\) ( \(A,B\)\(x\) によらない定数 ) を代入すると、 \(Ax+(A+B)=x\) したがって \(A=1,B=-1\) を得るので、

\[ \begin{aligned} y = x - 1 \end{aligned} \]

は与えられた微分方程式の特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

\[ \begin{aligned} y = C e^{-x} + x - 1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned} \]

である。 与えられた初期条件を満たすのは \(C=2\) のときであるから、求める特殊解は

\[ \begin{aligned} y = 2 e^{-x} + x - 1 \end{aligned} \]

である。

問題 2

与えられた微分方程式に \(y = e^{\lambda x}\) ( \(\lambda\)\(x\) によらない定数 ) を代入すると、

\[ \begin{aligned} \lambda^2 - \lambda + 2 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} \end{aligned} \]

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

\[ \begin{aligned} y = e^\frac{x}{2} \left( A \sin \frac{\sqrt{7}}{2} x + B \cos \frac{\sqrt{7}}{2} x \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned} \]

である。

問題 3

まず、 \(y''+3y'+2y=0\)\(y = e^{\lambda x}\) ( \(\lambda\)\(x\) によらない定数 ) を代入すると

\[ \begin{aligned} \lambda^2 + 3 \lambda + 2 &= 0 \\ (\lambda - 1)(\lambda - 2) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, -2 \end{aligned} \]

を得るので、この微分方程式の一般解は

\[ \begin{aligned} y = A e^{-x} + B e^{-2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned} \]

である。 次に、与えられた微分方程式に \(y = Cxe^{-x}\) ( \(C\)\(x\) によらない定数 ) を代入すると、 \(C=1\) を得るので、

\[ \begin{aligned} y = x e^{-x} \end{aligned} \]

は与えられた微分方程式の特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

\[ \begin{aligned} y = A e^{-x} + B e^{-2x} + x e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned} \]

である。