九州大学 工学府 機械系専攻 2022年度 数学 問1
Author
Miyake
Description
次の行列 \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) について，以下の問いに答えよ．ただし \(x\) は実数とする．
(1) \(T^{\top} A T\) が対角行列となる直交行列 \(T \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) を求めよ．
(2) 任意のベクトル \(y \in \mathbb{R}^3\) について，\(y^{\top} A y \ge 0\) となるための \(x\) の範囲を求めよ．
(3) (2) で求めた \(x\) の範囲を満たす最小値を \(x\) に代入した行列 \(A\) を \(A_m\) とするとき，行列 \(\{A_m\}^6 \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) を求めよ.
Kai
(1)
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
x - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & x - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & x - \lambda
\end{pmatrix}
\\
&= (x - \lambda)^3 - 2(x - \lambda)
\\
&= - (\lambda - x) (\lambda - (x - \sqrt{2})) (\lambda - (x + \sqrt{2}))
\\
\therefore \ \
\lambda &= x , x \pm \sqrt{2}
\end{aligned}
\]
である。
固有値 \(x\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(u+w=0, v=0\) を得る。
固有値 \(x-\sqrt{2}\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(u=w, v=-\sqrt{2}u\) を得る。
固有値 \(x+\sqrt{2}\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(u=w, v=\sqrt{2}u\) を得る。
よって、
\[
\begin{aligned}
T = \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 1 & 1 \\ 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
T^\mathrm{T} A T =
\begin{pmatrix}
x & 0 & 0 \\ 0 & x-\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & x+\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が成り立つ。
(2)
任意の \(y \in \mathbb{R}^3\) について \(y^\mathrm{T} A y \geq 0\)
が成り立つための必要十分条件は、
\(A\) の固有値がすべて \(0\) 以上であることである。
よって、求める範囲は \(x - \sqrt{2} \geq 0\) すなわち
\(x \geq \sqrt{2}\) である。
(3)
\[
\begin{aligned}
A_m &= \begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
\left\{ A_m \right\}^6
&= T \begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}^6 T^\mathrm{T}
\\
&= T \begin{pmatrix}
8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 512
\end{pmatrix} T^\mathrm{T}
\\
&= \begin{pmatrix}
132 & 128 \sqrt{2} & 124 \\
128 \sqrt{2} & 256 & 128 \sqrt{2} \\
124 & 128 \sqrt{2} & 132
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。