九州大学 工学府 応用化学専攻 機能物質化学系 2023年度 物理化学 2
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Kai
(1)
\(hc / (\lambda kT) \gg 1\) のとき
\[
\begin{aligned}
e^\frac{hc}{\lambda kT} \gg 1
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\rho (\lambda, T)
&\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}
\end{aligned}
\]
と表せる。
(2)
\(hc / (\lambda kT) \ll 1\) のとき
\[
\begin{aligned}
e^\frac{hc}{\lambda kT} \simeq 1 + \frac{hc}{\lambda kT}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\rho (\lambda, T)
&\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\frac{hc}{\lambda kT}}
\\
&= \frac{8 \pi kT}{\lambda^4}
\end{aligned}
\]
と表せる。
(3)
(4)
(5)
\[
\begin{aligned}
T
&= \frac{hc}{5 \lambda_\mathrm{max} k}
\\
&= 5.88 \times 10^3 \ \mathrm{K}
\end{aligned}
\]
(6)
まず、
\[
\begin{aligned}
C_{V, \mathrm{m}}
&= \left( \frac{\partial U_\mathrm{m}}{\partial T} \right)_V
\\
&= 3N_A h \nu
\frac{ - e^\frac{h \nu}{kT} \cdot \left( - \frac{h \nu}{kT^2} \right)}
{\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2}
\\
&= \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2}
\frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2}
\end{aligned}
\]
である。
(i) \(kT \gg h \nu\) のとき、
\[
\begin{aligned}
e^\frac{h \nu}{kT} \simeq 1 + \frac{h \nu}{kT}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
C_{V, \mathrm{m}}
&\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2}
\frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( \frac{h \nu}{kT} \right)^2}
\\
&= 3N_Ak e^\frac{h \nu}{kT}
\end{aligned}
\]
と近似できる。
(ii) \(kT \ll h \nu\) のとき、
\[
\begin{aligned}
e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \simeq e^\frac{h \nu}{kT}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
C_{V, \mathrm{m}}
&\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} e^{- \frac{h \nu}{kT}}
\end{aligned}
\]
と近似できる。