九州大学 経済学府 経済工学専攻 2020年度 経済数学
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Kai
問 1
(1)
(a)
\(\det X = -9t\) なので、 \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3\) が1次独立になるのは、 \(t \ne 0\) のときである。
(b)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とすると、
\[
\begin{aligned}
X \boldsymbol{c} = a \boldsymbol{x}_1 + b \boldsymbol{x}_2 + c \boldsymbol{x}_3
\end{aligned}
\]
なので、 \(X \boldsymbol{c}\) は \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3\) の1次結合で表される。
また、
\[
\begin{aligned}
X^T X \boldsymbol{c}
= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1^T (X \boldsymbol{c}) \\
\boldsymbol{x}_2^T (X \boldsymbol{c}) \\ \boldsymbol{x}_3^T (X \boldsymbol{c}) \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と表されるので、 \(X^T X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3\) は、 \(X \boldsymbol{c}\) が \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3\) のいずれとの内積も \(0\) であることを意味する。
したがって、 \(X^T X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3\) ならば、 \(X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3\) である。
(\(c\))
\[
\begin{aligned}
\det \left( X^T X \right)
&= \left( \det X^T \right) \left( \det X \right)
\\
&= \left( \det X \right)^2
\\
&= 81t^2
\end{aligned}
\]
なので、 \(X^T X\) が正則なのは \(t \ne 0\) のときである。
(2)
問 2
(1)
(2)
(a)
\[
\begin{aligned}
E \left[ \exp (tX) \right]
&= \sum_{x=0}^n \exp(tx) \cdot {}_n C_x p^x (1-p)^{n-x}
\\
&= \sum_{x=0}^n \ {}_n C_x \left( p e^t \right)^x (1-p)^{n-x}
\\
&= \left( 1 - p + p e^t \right)^n
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
E \left[ \exp (tY) \right]
&= \sum_{y=0}^\infty \exp(ty) \cdot \exp(- \lambda) \frac{\lambda^y}{y!}
\\
&= \exp(- \lambda) \sum_{y=0}^\infty \frac{\left( \lambda e^t \right)^y}{y!}
\\
&= \exp(- \lambda) \cdot \exp \left( \lambda e^t \right)
\\
&= \exp \left( \lambda \left( e^t - 1 \right) \right)
\end{aligned}
\]
(\(c\))
(a) より、
\[
\begin{aligned}
E \left[ \exp \left( tZ_n \right) \right]
&= \left( 1 + \frac{\lambda \left( e^t - 1 \right)}{n} \right)^n
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} E \left[ \exp \left( tZ_n \right) \right]
&= \exp \left( \lambda \left( e^t - 1 \right) \right)
\end{aligned}
\]
である。