九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2023年度 ベクトル解析
Author
Yu
Description
直交座標系において, \(x,y,z\) 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\mathbf{i,j,k}\) とする。ベクトル場 \(\mathbf{F}\) を \(\mathbf{F}=y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) とする。次の各問に答えよ。
(1) \(C\) を \(x^2 + y^2=4,z=0\) で定義される円とする。次に示す \(C_1\) および \(C_2\) に沿った線積分 \(\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) および \(\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) を求めよ。
\(\quad\) (a) \(C_1:C\) 上を点 \(A(1,\sqrt{3},0)\) から点 \(B(-\sqrt{3},1,0)\) まで反時計回り向かう曲線
\(\quad\) (b) \(C_2:C\) 上を点 \(A(1,\sqrt{3},0)\) から点 \(B(-\sqrt{3},1,0)\) まで時計回り向かう曲線
(2) \(S\) を半球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 4 (0 \le z)\) と平面 \(z = 0\) で囲まれた領域の境界とする。面積分 \(\int_{S}\nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) を求めよ。外向き法線ベクトルを用いよ。
Kai
(1)
(a)
\[
\begin{aligned}
x(t) &= 2\cos t\\
y(t) &= 2\sin t\\
\mathbf{r} = 2\cos t \mathbf{i} &+ 2\sin t \mathbf{j} \quad (\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{5\pi}{6}) \\
d\mathbf{r} = \langle -2&\sin t,2\cos t,0 \rangle dt\\
\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \langle 2\sin t,-2\cos t,z \rangle \cdot \langle -2\sin t,2&\cos t,0\rangle dt = -4(\sin
^2t + \cos^2t)dt = -4dt\\
\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = &-4\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}}dt = -2\pi
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\int_{C_2}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{-C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} =2\pi
\]
(2)
\[
C\text{を}x^2 + y^2 = 4,z = 0\text{で定義される円とする。}
\]
\[
\nabla \times \mathbf{F} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
y & -x & z
\end{vmatrix} = \langle 0,0,-2 \rangle
\]
\[
\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = -4\int_{0}^{2\pi} dt = -8\pi
\]
\[
\int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}dS
\]
\[
=\int_{S_2}\langle 0,0,-2\rangle \cdot \langle 0,0,-1\rangle dxdy
\]
\[
=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 2rdr = 8\pi
\]
\[
\int_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} + \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} = 0
\]