九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2023年度 線形代数
Author
Yu
Description
\(n \times n\) 実対称行列 \(A = [a_{ij}]_{n×n} \in \mathbb{R}^{n×n}\) に対して，\(A\) の各要素 \(a_{ij}\) が \(a_{ij} \in \{0, 1\} (1 \le i, j \le n)\) かつ \(a_{ii} = 0 (1 \le i \le n)\) を満たすとする．\(A\) に対して，\(D = [\delta_{ij}(\sum_{k = 1}^n a_{ik})]_{n \times n}\) と定義する． ただし \(\delta_{ij}\) は，\(1 \le i, j \le n\) に対して，\(i = j\) のとき \(\delta_{ij} = 1\)，そうでないとき \(\delta_{ij} = 0\) によって定義される．さらに，\(L = D − A\) と定義する．以下の各問いに答えよ．
(1) 以下の \(A\) に対して，\(L = D − A\) を求めよ．
\[
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
(2) (1) で求めた \(L\) の固有値を全て求めよ．
(3) (2) で求めた \(L\) の各固有値に対する固有空間を求めよ．
(4) 一般に \(L\) は固有値 \(0\) を持つことを示せ．
Kai
(1)
\[
L = D - A =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} -
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0\\
-1 & -1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
&\because|T| = |\lambda E - L| =
\begin{bmatrix}
\lambda - 2 & 1 & 1 & 0 \\
1 & \lambda -2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & \lambda -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{bmatrix} = \lambda^2(\lambda - 3)^2 = 0\\
&\therefore\lambda_1 = 0(2重解) \quad \lambda_2 = 3(2重解)
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\lambda_1 = 0 \text{ のとき, }T_1x_1= 0 ,\text{ そして, } x_1 = \begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{bmatrix} \text{ とおくと,}
\]
\[
\begin{bmatrix}
-2 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\alpha_3 \\
\alpha_4
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\alpha_3 \\
\alpha_4
\end{bmatrix} = 0
\]
\[
x_1 = s\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} \Rightarrow
V(0) =
\left\{
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}
\right\}
\]
\[
\lambda_2 = 3 \text{ のとき, }T_2x_2= 0 ,\text{ そして, } x_2 = \begin{bmatrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \end{bmatrix} \text{ とおくと,}
\]
\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\beta_3 \\
\beta_4 \\
\end{bmatrix} = 0 \Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\beta_3 \\
\beta_4 \\
\end{bmatrix} = 0
\]
\[
x_2 = s\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \Rightarrow
V(3) =
\left\{
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}
\right\}
\]
(4)
\[
\begin{aligned}
|L| &=
\begin{vmatrix}
\sum_{k=1}^n a_{1k} - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\
-a_{21} & \sum_{k=1}^n a_{2k} - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\
-a_{31} & -a_{32} & \sum_{k=1}^n a_{3k} - a_{33} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{nk} - a_{nn} \\
\end{vmatrix} \\
|L| &=
\begin{vmatrix}
0 & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\
0 & \sum_{k=1}^n a_{2k} - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\
0 & -a_{32} & \sum_{k=1}^n a_{3k} - a_{33} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{nk} - a_{nn}
\end{vmatrix} \\
|L| &= 0 \\
\lambda &= 0 \text{ のとき, }|L - \lambda E| = |L| = 0
\end{aligned}
\]