九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2023年度 解析学・微積分
Author
Yu
Description
(1) \(\mathbb{{R}}\) 上の関数 \(f(x) = \cos x\) の \(k\) 階導関数を \(f^{(k)}(x)\) で表す。ただし, は実数全体の集合である。以下の各問いに答えよ。
\(\quad\) (a) 全ての \(k \ge 1\) について \(f^{(k)}(0)\) を求めよ。
\(\quad\) (b) \(f(x)\) の原点周りでのテイラー級数を
\[
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}
\]
とするとき, 全ての \(k \ge 0\) 関する \(a_k\) を求めよ。
\(\quad\) (\(c\)) 全ての \(x \in \mathbb{R}\) について
\[
\sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}x^{k}|
\]
が収束することを示せ。
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。なお, \(y'\) は関数 \(y(x)\) の \(x\) に関する \(1\) 階導関数を表している。
\[
y'''' - 2y''' - y'' - 4y' + 12y = 0
\]
(3) 閉曲線 \(C\) に沿った複数積分 \(\oint_{C} \frac{1}{z(z^2 - 1)}\) を求めよ。ただし, \(C\) は円 \(|z| = r,r > 0\) かつ \(r \neq 1\) とする。
Kai
(1)
(a)
\[
f^{k}(0) =
\left\{
\begin{aligned}
1 , &k \equiv 0 \quad (\text{mod} \quad 4) \\
0 , &k \equiv 1 \text{or} 3 \quad(\text{mod} \quad 4) \\
-1 , &k \equiv 2 \quad (\text{mod} \quad 4)
\end{aligned}
\right.
\]
(b)
\[
a_k = \frac{f^{k}(0)}{k!} =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{k!} , \quad &k \equiv 0 \quad (\text{mod} \quad 4) \\
0, \quad &k \equiv 1 \text{or} 3 \quad (\text{mod} \quad 4) \\
\frac{-1}{k!} ,\quad &k \equiv 2 \quad (\text{mod} \quad 4)
\end{aligned}
\right.
\]
(\(c\))
\[
\sum_{k = 0}^{\infty}|a_{k}x^{k}| = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\]
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^2}{(2n + 2)(2n + 1)} = 0
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
r^4 - 2r^3 - r^2 &- 4r + 12 = 0\\
(r - 2)^2 (r^2 &+ 2r + 3) = 0\\
r_1 = 2,r_2 = 2,r_3 = &-1 + \sqrt{2}i,r_4 = -1 - \sqrt{2}i\\
y = e^{2x}(c_1 + c_2x) + &e^{-x}(c_3\cos\sqrt{2}x + c_4\sin\sqrt{2}x)
\end{aligned}
\]
(3)
\[
f(z) = \frac{1}{z(z^2 - 1)} \text{ とおくと},
\]
\[
0 < r < 1\text{ のとき}, z = 0\text{ は }1\text{ 位の極である。}
\]
\[
\text{res}f(0) = \lim_{z \rightarrow 0}z \frac{1}{z(z^2 - 1)} = \frac{1}{z^2 - 1}\bigg|_{z = 0} = -1
\]
\[
\oint_{C}f(z)\text{d}z = 2\pi i\text{res}f(0) = -2\pi i
\]
\[
r > 1\text{ のとき}, z = 0,z = \pm 1 \text{ は }1\text{ 位の極である。}
\]
\[
\text{res}f(-1) = \lim_{z \rightarrow -1}(z + 1) \frac{1}{z(z^2 - 1)} = \frac{1}{z(z - 1)}\bigg|_{z = -1} = \frac{1}{2}
\]
\[
\text{res}f(1) = \lim_{z \rightarrow 1}(z - 1) \frac{1}{z(z^2 - 1)} = \frac{1}{z(z + 1)}\bigg|_{z = 1} = \frac{1}{2}
\]
\[
\oint_{C}f(z)\text{d}z = 2\pi i [\text{res}f(0) + \text{res}f(-1) + \text{res}f(1)] = 0
\]