九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2022年度 ベクトル解析
Author
Miyake, Casablanca
Description
直交座標系において，\(x, y, z\) 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\) とする．
ベクトル場 \(\boldsymbol{F}\) を \(\boldsymbol{F} = x\boldsymbol{i} + 2y\boldsymbol{j} + 10z\boldsymbol{k}\) とする．次の面 \(S_1\), \(S_2\) 及び \(S_3\) に対する面積分を計算せよ．
(1) \(S_1\) を円筒面 \(x^2 + z^2 = 1\ (0 \le y \le 4)\) とする(上面と底面の無い円筒の表面)．円筒外向き法線ベクトルを用いよ．
(2) \(S_2\) を円筒面の一部 \(x^2 + z^2 = 1\ (0 \le y \le 4, 0 \le z)\) と長方形面 \(z = 0\ (-1 \le x \le 1, 0 \le y \le 4)\) からなる半円筒面とする (上面と底面の無い半円筒の表面)．半円筒外向き法線ベクトルを用いよ．
(3) \(S_3\) を円筒面 \(x^2 + z^2 = 1\) と，平面 \(z = 0, y=0, x+y=4\) で囲まれた領域の境界とする．外向き法線ベクトルを用いよ.
Kai
(1)
\(S_1\) 上の点は
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{i} \cos \varphi + y \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} \sin \varphi
\ \ \ \
(0 \leq \varphi \lt 2 \pi, \ \ 0 \leq y \leq 4)
\end{aligned}
\]
と表せる。
\(S_1\) の外向きの単位法線ベクトルを \(\boldsymbol{n}\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{n}
&= \boldsymbol{i} \cos \varphi + \boldsymbol{k} \sin \varphi
\\
\boldsymbol{F}
&= \boldsymbol{i} \cos \varphi + 2y \boldsymbol{j}
+ 10 \boldsymbol{k} \sin \varphi
\\
\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}
&= \cos^2 \varphi + 10 \sin^2 \varphi
\\
&= \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi
\end{aligned}
\]
なので、求める積分は
\[
\begin{aligned}
\int_{S_1} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}
&= \int_0^{2 \pi} d \varphi \int_0^4 dy
\left( \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \right)
\\
&= 44 \pi
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\(S_2\) を次のように2つに分けて考える：
\[
\begin{aligned}
S_2' \ &: \ \ x^2 + z^2 = 1 \ \ (0 \leq y \leq 4, \ 0 \leq z)
, \\
S_2'' \ &: \ \ z=0 \ \ (-1 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 4)
.
\end{aligned}
\]
\(S_2'\) 上では (1) と同様に計算できる：
\[
\begin{aligned}
\int_{S_2'} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}
&= \int_0^{\pi} d \varphi \int_0^4 dy
\left( \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \right)
\\
&= 22 \pi
.
\end{aligned}
\]
\(S_2''\) 上では、外向き単位法線ベクトルは
\(\boldsymbol{n} = - \boldsymbol{k}\) で、
\(\boldsymbol{F} = x \boldsymbol{i} + 2y \boldsymbol{j}\) なので、
\(\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} = 0\) であり、
面積分は \(0\) である。
よって、求める積分は
\[
\begin{aligned}
\int_{S_2} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}
&= \int_{S_2'} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}
\\
&= 22 \pi
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\[
\begin{aligned}
\nabla \cdot \boldsymbol{F} &= \frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (2y) + \frac{\partial}{\partial z} (10z) \\
&= 1 + 2 + 10 = 13
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{S} &= \iiint_{\Omega} 13\ dV = 26 \pi
\end{aligned}
\]