九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2022年度 線形代数
Author
Miyake
Description
\(n\) 次元ユークリッド空間上の \(n+1\) 個の点 \(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,...,\boldsymbol{p}_{n+1} \in \mathbb{R}_n\) に対し，\(2\) 点 \(\boldsymbol{p}_i, \boldsymbol{p}_j\) 間のユークリッド距離を \(d_{i,j} = \|\boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_j\|\) で表す．ただし，各 \(\boldsymbol{p}_i\) は列ベクトルである．
また，\(g_{i,j} = d^2_{i, n+1} + d^2_{j, n+1} - d^2_{i,j} \ (1 \leq i,j \leq n)\) を添字順に並べて得られる行列を \(G = (g_{i,j}) \in \mathbb{R}^{n \times n}\) とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) n = 2とする．以下の2つの場合に対して，等式条件を満たす3個の点 \(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\boldsymbol{p}_3 \in \mathbb{R}^2\) の組をそれぞれ1つ求めよ．
- (a) \((d_{1,2},d_{1,3}, d_{2,3}) = (1,1,1)\)
- (b) \((d_{1,2},d_{1,3}, d_{2,3}) = (1,2,3)\)
(2) \(\boldsymbol{x}_j = \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_{n+1} \ (1 \leq j \leq n)\) とし，\(\boldsymbol{x}_j\) を添字順に並べて得られる行列を \(X = (\boldsymbol{x}_j) \in \mathbb{R}^{n \times n}\) とする．
(1) で求めた答えに対し，\(X^{\top}X\) をそれぞれ計算せよ．
(3) 一般に \(G\) が半正定値であることを示せ．ただし，\(n \times n\) 実対称行列 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) が半正定値であるとは，任意のベクトル \(\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n\) に対して \(\boldsymbol{v}^{\top}A \boldsymbol{v} \geq 0\) が成り立つことをいう．
Kai
(1)
(a)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{p}_2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{p}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{p}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{p}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(2)
(a)
\[
\begin{aligned}
X
&= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
\\
\therefore \ \
X^T X
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
X
&= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\\
\therefore \ \
X^T X
&= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(3)
ベクトル \(\boldsymbol{a}\) のノルムを \(|\boldsymbol{a}|\) で表す。
与えられた定義より、
\[
\begin{aligned}
g_{i,j}
&= d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2 - d_{i,j}
\\
&= \left| \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2
+ \left| \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2
- \left| \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_j \right|^2
\\
&= 2
\left( \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_j
- \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_{n+1}
- \boldsymbol{p}_j^T \boldsymbol{p}_{n+1}
+ \left| \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2
\right)
\\
X^T X
&= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{x}_1^T \\ \boldsymbol{x}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 & \cdots & \boldsymbol{x}_n
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_1 &
\boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2 &
\cdots &
\boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_n &
\\
\boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_1 &
\boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_2 &
\cdots &
\boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_n &
\\
\vdots
\\
\boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{x}_1 &
\boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{x}_2 &
\cdots &
\boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{x}_n &
\end{pmatrix}
\\
\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{x}_j
&= \left( \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_{n+1} \right)^T
\left( \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_{n+1} \right)
\\
&= \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_j
- \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_{n+1}
- \boldsymbol{p}_j^T \boldsymbol{p}_{n+1}
+ \left| \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
G = 2 X^T X
\end{aligned}
\]
がわかる。
よって、任意の \(\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n\) について
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^T G \boldsymbol{v}
&= 2 \boldsymbol{v}^T X^T X \boldsymbol{v}
\\
&= 2 \left( X \boldsymbol{v} \right)^T X \boldsymbol{v}
\\
&= 2 \left| X \boldsymbol{v} \right|^2
\\
&\geq 0
\end{aligned}
\]
が成り立つので、 \(G\) は半正定値である。