九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2022年度 解析学・微積分
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Kai
(1)
(a)
\[
\begin{aligned}
\frac{df}{dt}
= \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dv_i}{dt}
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\frac{df}{dt}
= (2x_1+x_2) \cos t + (x_1+4x_2)e^t
\end{aligned}
\]
あるいは、 \(x_1, x_2\) は使わず \(t\) のみで表すと、
\[
\begin{aligned}
\frac{df}{dt}
= \sin 2t + e^t \cos t + e^t \sin t + 4 e^{2t}
\end{aligned}
\]
(2)
まず、与えられた微分方程式の右辺を \(0\) とした方程式
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} - 2xy = 0
\end{aligned}
\]
を考えると、これは
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{y} = 2x dx
\end{aligned}
\]
と変形できるので、一般解は、\(A\) を任意定数として、次のように求まる：
\[
\begin{aligned}
y = A e^{x^2}
.
\end{aligned}
\]
そこで、 \(A\) を \(x\) の関数と考えて、 \(y = A(x)e^{x^2}\) を与えられた微分方程式に代入すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{dA(x)}{dx} &= 1
\\
\therefore \ \
A(x) &= x + C
\end{aligned}
\]
を得るので、求める一般解は
\[
\begin{aligned}
y = (x+C) e^{x^2}
\end{aligned}
\]
である。 ただし、 \(C\) は任意定数である。
(3)
\(w=z-\pi/2\) として、次のように \(w=0\) においてローラン展開できる：
\[
\begin{aligned}
\frac{\cos z}{(2z - \pi)^3}
&= - \frac{1}{8} \frac{\sin w}{w^3}
\\
&= - \frac{1}{8w^3} \left( w - \frac{1}{6} w^3 + \cdots \right)
\\
&= - \frac{1}{8} \left( \frac{1}{w^2} - \frac{1}{6} + \cdots \right)
.
\end{aligned}
\]
よって、
\[
\begin{aligned}
\oint_C \frac{\cos z}{(2 \pi - z)^2} = 0
\end{aligned}
\]
がわかる。