九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年度 ベクトル解析

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Yu

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直交座標系において, \(x,y,z\) 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) とする。次の各問に答えよ。

(1) \(3\)点 \((2,-6,2),(1,-10,-1)\) および \((-1,2,3)\) が決定する平面と点 \((2,-2,-2)\) との距離を求めよ。

(2) ベクトル場 \(\mathbf{F}\) を \(\mathbf{F} = \big(-\frac{xy}{4}\big)\mathbf{i} + (z - x)\mathbf{j} + (x + y)\mathbf{k}\) とする。曲線 \(C:x = \frac{y^2}{8},y = -z\) に沿って, \((0,0,0)\) から \(\big(\frac{9}{2},6,-6\big)\) までの線積分 \(\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}\) を計算せよ。

Kai

(1)

\[ \begin{aligned} \mathbf{v}_1 = \langle -1,-4,-3 &\rangle \quad \mathbf{v}_2 = \langle -3,8,1 \rangle \\ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2&= \langle 20,10,-20 \rangle \\ \mathbf{n} &= \langle 2,1,-2 \rangle \\ 2x + y &- 2z + d = 0\\ (2,-6,2)&\text{を代入して}, d=6\\ 2x + y &- 2z + 6 = 0\\ \end{aligned} \]

\[ D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 4 \]

(2)

\[ \begin{aligned} \mathbf{F} = \langle -\frac{y^3}{32},&-y-\frac{y^2}{8},y + \frac{y^2}{8} \rangle \\ \mathbf{r} = \frac{y^2}{8}\mathbf{i} + y\mathbf{j} &- y\mathbf{k} \quad (0 \le y \le 6)\\ d\mathbf{r} = &\langle \frac{y}{4},1,-1 \rangle dy\\ \mathbf{F} \times d\mathbf{r} = \langle -\frac{y^3}{32},-y-\frac{y^2}{8},y + \frac{y^2}{8} \rangle &\times \langle \frac{y}{4},1,-1 \rangle dy = \langle 0,\frac{y^2}{4},\frac{y^2}{4} \rangle dy \\ \int_{C}\mathbf{F} \times d\mathbf{r} = \int_0^6 &\langle 0,\frac{y^2}{4},\frac{y^2}{4} \rangle dy = \langle 0,18,18 \rangle \end{aligned} \]