九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年度 線形代数

Author

Yu

Description

\(n \times m\) 実行列 \(A \in \mathbb{R}^{n \times m}\) の第 \(j\) 列 \((j = 1, 2, \dots , m)\) を \(a_j \in \mathbb{R}^n\)とする．各部分集合 \(J \subseteq \{1, 2, \dots , m\}\) について，その要素数を \(|J|\) で表し，\(a_j (j \in J)\) を \(j\) に関する昇順で左から並べて得られる \(A\) の部分行列を \(A[J] \in \mathbb{R}^{n \times |J|}\) で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 以下の行列 \(A\) に対し，\(\{a_j|j \in J\}\) が線形独立であるような部分集合 \(J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) をすべて求めよ．

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5 \\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

(2) (1) の行列 \(A\) に対し，\(\text{rank}(A[J]) < |J|\) を満たす部分集合 \(J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) であって，\(J\) の任意の真部分集合 \(I \subsetneq J\) について \(\text{rank}(A[I]) = |I|\) が成り立つものをすべて求めよ．ただし，空集合 \(\emptyset\) に対しては \(\text{rank}(A[\emptyset]) = 0\) と定義する．

(3) 一般の \(A \in \mathbb{R}^{n×m}\) について，\(I \subseteq J \subseteq \{1, 2, \dots , m\}\) かつ \(\text{rank}(A[J]) = |J|\) のとき，\(\text{rank}(A[I]) = |I|\) が成り立つことを示せ．

Kai

(1)

\[ \begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5\\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & -10\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ \end{bmatrix} \\ J &= \{1\} \quad J = \{1,2\} \quad J = \{1,4\} \quad J = \{1,5\} \quad J = \{1,6\} \quad J = \{1,2,4\} \quad J = \{1,2,6\} \\ J &= \{2\} \quad J = \{2,4\} \quad J = \{2,6\} \quad J = \{2,4,6\} \\ J &= \{4\} \quad J = \{4,5\} \quad J = \{4,6\} \quad J = \{4,5,6\} \\ J &= \{5\} \quad J = \{5,6\} \\ J &= \{6\} \\ J &= \emptyset \end{aligned} \]

(2)

\[ J = \{3\} \quad J = \{2,5\} \quad J = \{1,4,6\} \]

(3)

\(\text{rank}(A[J]) = |J|\) より、\(\{a_j|j \in J\}\) は線型独立である.

線型独立な集合の部分集合は線型独立である.

よって, \(\{a_i|i \in I\}\) は線型独立である. \(\text{rank}(A[I]) = |I|\).