九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年度 ベクトル解析
Author
Yu
Description
直交座標系において,\(x,y,z\) 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) とする。次の各問に答えよ。
(1) 面 \(z = x^2 + y^2\) と面 \(z = \big(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2 + \big(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2\) について, 次の問いに答えよ。
\(\quad\) (a) 点 \(P\big(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{4}\big)\) が, いずれの面にも含まれることを示せ。
\(\quad\) (b) 点 \(P\) において, それぞれの面の法線のなす角を求めよ。
(2)ベクトル場 \(\mathbf{A}\) を \(\mathbf{A} = x^2\mathbf{i} - y^2\mathbf{j} + z^2\mathbf{k}\) とする。\(S\) を \(x^2 + y^2 = 9,z = 0,z = 4\) で囲まれた円筒の表面とするとき, 面積分
\[
\int \int_{S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} dS
\]
を求めよ (ただし, \(\mathbf{n}\) は \(S\) の外向き単位法線ベクトル) 。
Kai
(1)
(a)
\[
z = x^2 + y^2 = \big(\frac{\sqrt{2}}{4}\big)^2 + \frac{\sqrt{2}}{4}\big)^2 = \frac{1}{4}
\]
\[
z = \big(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2 + \big(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2 = \frac{1}{4}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\mathbf{N}_1 = \frac{\partial \mathbf{r}_1}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}_1}{\partial y} = \langle -2x,&-2y,1 \rangle = \langle -\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1 \rangle \\
\mathbf{N}_2 = \frac{\partial \mathbf{r}_2}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}_2}{\partial y} = \langle -2(x - \frac{1}{\sqrt{2}}),&-2(y - \frac{1}{\sqrt{2}}),1 \rangle = \langle \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1 \rangle \\
\cos\theta = \frac{\mathbf{N}_1 \cdot \mathbf{N}_2}{|\mathbf{N}_1||\mathbf{N}_2|} &= 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x - 2y + 2z
\]
\[
\oint_\mathbf{A} \cdot \mathbf{n}dS = \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{A}dV = \int_0^{2\pi} \int_0^3 \int_0^4 2(r\cos\theta - r\sin\theta + z)rdzdrd\theta = 144\pi
\]