九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年度 線形代数

Author

Yu

Description

数列 \(a_0，a_1，a_2, \cdots\) は, \(a_0 = 3，a_1 = 1，a_2 = 3\) および

\[ a_n = a_{n−1} + a_{n−2} + 2a_{n−3} \quad \quad (n = 3，4，5，\cdots) \]

で定義される．

(1) \(a_3，a_4，a_5\) を求めよ．

(2) 各 \(n = 0，1，2，\cdots\) について次が成立つような行列 \(T\) を答えよ．

\[ \begin{pmatrix} a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ a_{n+3}\\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a_n\\ a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ \end{pmatrix} \]

(3) \(T\) のすべての固有値とそれぞれに対応する固有ベクトルを求めよ．

(4) ベクトル \(\begin{pmatrix} 3 \\1 \\3 \end{pmatrix}\)を，前問で求めた固有ベクトルの線形結合として表せ．

(5) \(a_n\) を求めよ．

Kai

(1)

\[ \begin{aligned} a_3 &= a_2 + a_1 + 2a_0 = 3 + 1 + 2 \times 3 = 10\\ a_4 &= a_3 + a_2 + 2a_1 = 10 + 3 + 2 \times 1 = 15\\ a_5 &= a_4 + a_3 + 2a_2 = 15 + 10 + 2 \times 3 = 31 \end{aligned} \]

(2)

\[ \begin{bmatrix} a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ a_{n + 3}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ a_{n + 2} + a_{n + 1} + 2a_{n}\\ \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} a_n\\ a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ \end{bmatrix} \Rightarrow T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} \]

(3)

\[ \begin{aligned} &\because |A| = |\lambda E - T| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & -1 & \lambda -1\\ \end{vmatrix} = (\lambda^2 + \lambda + 1)(\lambda - 2) = 0 \\ &\therefore \lambda_1 = 2 \quad \lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \quad \lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \end{aligned} \]

\(\lambda_1 = 2\) のとき, \(A_1x_1 = 0\) であり、\(x_1 = \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \end{bmatrix}\) とおくと,

\[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1\\ -2 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \]

\(\lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\) のとき, \(A_2x_2 = 0\) であり、\(x_2 = \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3\\ \end{bmatrix}\) とおくと,

\[ \begin{bmatrix} \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & -1 & 0 \\ 0 & \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & -1 \\ -2 & -1 & \frac{-3 + \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} \]

\(\lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\) のとき, \(A_3x_3 = 0\) であり、\(x_3 = \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2\\ \gamma_3\\ \end{bmatrix}\) とおくと,

\[ \begin{bmatrix} \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & -1 & 0\\ 0 & \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & -1\\ -2 & -1 & \frac{-3 - \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2\\ \gamma_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\\ \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix} \]

(4)

\[ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\\ \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix} \]

(5)

\[ a_n = 2^n + 2\cos\big(\frac{2n\pi}{3}\big) \]