九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2019年度 ベクトル解析
Author
Miyake
Description
直交座標系において, \(x, y, z\) 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\) とする．次の各問に答えよ．
(1) スカラー場 \(\phi\) を \(\phi = e^{xz} \sin y + e^{x} \cos y\). ベクトル場 \(\boldsymbol{A}\) を \(\boldsymbol{A} = (2x - z) \boldsymbol{i} - 2 \boldsymbol{j} + 2\boldsymbol{k}\) で定める．点 \((1, 0, 1)\) における \(\phi\) の勾配の \(\boldsymbol{A}\) 方向成分を求めよ．
(2) ベクトル場 \(\boldsymbol{A} = z\boldsymbol{i} -3\boldsymbol{j} +4xy\boldsymbol{k}\) について，次の面 \(S\) に対する \(\boldsymbol{A}\) の面積分を計算せよ．
- \(S: 6x + 3y + z = 3, \ \ \ \ (x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0)\)
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\mathrm{grad} \phi
= \left(z e^{xz} \sin y + e^x \cos y \right) \boldsymbol{i}
+ \left(e^{xz} \cos y - e^x \sin y \right) \boldsymbol{j}
+ x e^{xz} \sin y \boldsymbol{k}
\end{aligned}
\]
であり、点 \((1,0,1)\) において、
\[
\begin{aligned}
\mathrm{grad} \phi
&= e \boldsymbol{i} + e \boldsymbol{j}
\\
\boldsymbol{A}
&= \boldsymbol{i} - 2 \boldsymbol{j} + 2 \boldsymbol{k}
\\
\left| \boldsymbol{A} \right|
&= 3
\end{aligned}
\]
なので、点 \((1,0,1)\) における \(\phi\) の勾配の \(\boldsymbol{A}\) 方向成分は
\[
\begin{aligned}
\mathrm{grad} \phi \cdot \frac{\boldsymbol{A}}{| \boldsymbol{A} |}
&= - \frac{e}{3}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\(S\) 上の点の位置ベクトルは
\(\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + (-6x-3y+3) \boldsymbol{k}\)
と書け、このとき、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x}
&= \boldsymbol{i} -6 \boldsymbol{k}
\\
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y}
&= \boldsymbol{j} -3 \boldsymbol{k}
\\
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y}
&= 6 \boldsymbol{i} + 3 \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}
\end{aligned}
\]
である。
また、 \(S\) 上で
\(\boldsymbol{A} = (-6x-3y+3) \boldsymbol{i} - 3 \boldsymbol{j} + 4xy \boldsymbol{k}\)
なので、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \cdot
\left(
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y}
\right)
&= 4xy-36x-18y+9
\end{aligned}
\]
である。
点 \((x, y, -6x-3y+3)\) が \(S\) にあるのは、
\(0 \leq x \leq 1/2\) かつ \(0 \leq y \leq -2x+1\) のときであるから、
求める面積分は
\[
\begin{aligned}
&\int_0^\frac{1}{2} dx \int_0^{-2x+1} dy \left( 4xy-36x-18y+9 \right)
\\
&= 4 \int_0^\frac{1}{2} dx \left( 2x^3+7x^2-4x \right)
\\
&= - \frac{17}{24}
\end{aligned}
\]
である。